Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ f(x) = \begin{cases} ae^x+b \qquad \text{se x ≤ 0} \\ \frac{1}{2e^x -1} \qquad \; \text{se x > 0} \end{cases} $
$ f'(x) = \begin{cases} ae^x \qquad\qquad \text{se x ≤ 0} \\ -\frac{2e^x}{(2e^x-1)^2} \qquad\text{se x > 0} \end{cases} $
Per poter applicare Lagrangia la funzione deve essere continua e derivabile in [-1, 1].
Tutte le funzioni che compaiono lo sono, rimane però da verificare che lo siano anche nel punto di raccordo x = 0
i) La funzione è continua per x = 0
$ f(0) =\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = a+b $
$ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 $
per essere eguali è necessario che sia a + b = 1 (*)
ii) La funzione è derivabile per x = 0
$ D^-f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f'(x) = a $
$ D^+f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f'(x) = -2 $
per essere eguali è necessario che sia a = -2
dalla (*) segue che b = 3
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Livello 6