geometria solida

A [a, 0, 0]

B [a, a, 0]

C [0, a, 0]

D [0, 0, 0]

E [a, 0, a]

F [a, a, a]

G [0, a, a]

H [0, 0, a]

I lati AC; AH; CH stanno sui piani coordinati e misurano ognuno:

AC=AH=CH=√(a^2 + a^2) = √2·a

Quindi il triangolo ACH è equilatero

Il piano determinato dai vertici ACH di tale triangolo si scrive:

Α·x + Β·y + Γ·z + Δ = 0

Le incognite sono  a carattere maiuscolo e si ottengono imponendo il passaggio per tali vertici

{a·Α + Δ = 0

{a·Β + Δ = 0

{a·Γ + Δ = 0

risolvo ed ottengo :

[Α = - Δ/a ∧ Β = - Δ/a ∧ Γ = - Δ/a]

pongo Δ=a ed ottengo:

[Α = -1 ∧ Β = -1 ∧ Γ = -1]

-x - y - z + a = 0

che posso anche scrivere: x + y + z - a = 0

(od anche: z = -x - y + a)

Determino l'equazione parametrica della retta passante per 

F [a, a, a]

D [0, 0, 0]

{x = t

{y = t

{z = t

per t = 0 si ottiene D per t=a si ottiene F

I parametri direttori della retta sono pari ad 1 come i coefficienti del piano trovato Quindi r è perpendicolare al piano stesso.

t + t + t - a = 0-----> (3·t - a) = 0-----> t=a/3

[a/3,a/3,a/3] sono le coordinate del baricentro F del triangolo.

Il triangolo ACH è equilatero, i suoi lati sono le diagonale di tre facce del cubo, quindi i lati sono congruenti;

AH è la diagonale di ADHE;

AC è la diagonale della base ABCD;

CH è la diagonale di CGHD,

diagonale del quadrato = (Lato quadrato) * radice(2);

Lato della faccia del cubo = a;

AC = a * radice(2); (base del triangolo);

altezza del triangolo ACH = (lato triangolo) * radice(3) / 2);

h = AC * radice(3) /2 = a * radice(2) * radice(3) / 2;

Area triangolo = AC * h / 2 = [ a * radice(2)] * [a * radice(2) * radice(3) / 2] / 2;

Area triangolo = a * 2 * a * [radice(3) / 2] / 2 = a^2 * radice(3) / 2;