Esercizio triangoli trigonometria

Question

E' dato un arco  widehat {A B} di circonferenza di centro O e raggio r, corrispondente a un angolo retto. Prendi su di esso un punto P e determinane la posizione affinché sia verificata la relazione P A^2+P B^2= frac {6}{5} r^2$. [attach]92146[/attach]   [attach]92147[/attach] Buongiorno,  Ho un problema con questo esercizio, non mi esce il risultato corretto. Io avevo pensato di considerare gli angoli PBA e PAB come la metà dei corrispondenti angoli al centro (come in figura) e poi di trovare PA e PB con il teorema delle corde, ma non mi esce corretto. Ringrazio in anticipo!

LucianoP · Accepted Answer

[attach]92164[/attach] ΡΑ^2 = r^2 + r^2 - 2·r^2·COS(2·x) ΡΒ^2 = r^2 + r^2 - 2·r^2·COS(pi/2 - 2·x) r^2 + r^2 - 2·r^2·COS(2·x) + r^2 + r^2 - 2·r^2·COS(pi/2 - 2·x) = 6/5·r^2 - 2·r^2·COS(2·x) - 2·r^2·SIN(2·x) + 4·r^2 = 6/5·r^2 COS(2·x) + SIN(2·x) - 2 + 3/5 = 0 COS(2·x) + SIN(2·x) - 7/5 = 0 Pongo: 2·x = α  COS(α) = Χ SIN(α) = Υ Risolvo: {5·Χ + 5·Υ = 7 {Χ^2 + Υ^2 = 1 ottengo: [Υ = 3/5 ∧ Χ = 4/5 , Υ = 4/5 ∧ Χ = 3/5] Quindi: {SIN(α) = 3/5 {COS(α) = 4/5 α = 2·ATAN(1/3)---> x = ATAN(1/3) {SIN(α) = 4/5 {COS(α) = 3/5 α = pi/2 - 2·ATAN(1/3)----> x = pi/4 - ATAN(1/3) x = pi/4 - ATAN(1/3) = ATAN(1/2)

remanzini_rinaldo · Answer

[attach]132827[/attach] OA = OB = OP = r  PH = r*sin α BH = r-r*cos α =r(1-cos α) BP^2 = r^2(sin^2 α+1+cos^2 α-2*cos α) AP^2 = r^2(1+sin^2α-2*sin α+cos ^2 α) BP^2+AP^2 = 2*r^2(sin^2 α+cos^2 α+1-(sin α+cos α)) function f = (sin^2 α+cos^2 α+1-(sin α+cos α)) = 3/5 = 0,6000 function f = 2-(sin α+cos α) = 0,600 (sin α+cos α) = 1,4  sin α = 0,8 ; cos α = 0,6 oppure sin α = 0,6 ; cos α = 0,8 pertanto :  sin α = 0,800 cos α = 0,600 sin^2 α = 0,640 cos^2 α = 0,360  check :  BP^2 = r^2(sin^2+1+cos^2-2cos) = r^2(0,64+1+0,36-1,20) = 0,80r^2 AP^2  = r^2(cos^2+1+sin^2-2sin) = r^2(0,36+1+0,64-1,60) = 0,40 r^2  0,80+0,40 = 1,20 = 6/5.... QED

[Risolto] Esercizio triangoli trigonometria

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