Equazione goniometrica

Utilizziamo le due prime formule di prostaferesi:

SIN(p) + SIN(q) = 2·SIN((p + q)/2)·COS((p - q)/2)

SIN(p) - SIN(q) = 2·COS((p + q)/2)·SIN((p - q)/2)

L'equazione goniometrica da risolvere è:

SIN(4·x)·COS(5·x) = SIN(6·x)·COS(3·x)

Dalla seconda formula di prostaferesi possiamo scrivere;

{(p + q)/2 = 5·x

{(p - q)/2 = 4·x

risolvo ed ottengo: [p = 9·x ∧ q = x]

Dalla prima formula di prostaferesi possiamo scrivere:

{(p + q)/2 = 6·x

{(p - q)/2 = 3·x

risolvo ed ottengo: [p = 9·x ∧ q = 3·x]

Quindi possiamo scrivere:

1/2·(SIN(9·x) - SIN(3·x)) = 1/2·(SIN(9·x) + SIN(x))

SIN(9·x) - SIN(3·x) - (SIN(9·x) + SIN(x)) = 0

- SIN(3·x) - SIN(x) = 0

Analizziamo il primo termine:

SIN(3·x) = SIN(x + 2·x) = SIN(x)·COS(2·x) + SIN(2·x)·COS(x)=

=SIN(x)·(COS(x)^2 - SIN(x)^2) + (2·SIN(x)·COS(x))·COS(x)=

=(2·SIN(x)·COS(x)^2 - SIN(x)) + (2·SIN(x)·COS(x))·COS(x)=

=(2·SIN(x)·COS(x)^2 - SIN(x)) + 2·SIN(x)·COS(x)^2=

=4·SIN(x)·COS(x)^2 - SIN(x)

Quindi deve risultare:

SIN(x) - 4·SIN(x)·COS(x)^2 - SIN(x) = 0

- 4·SIN(x)·COS(x)^2 = 0

da cui:

x = k·pi ∨ x = pi/2 + k·pi

che si possono scrivere come: x=k*pi/2

Prostaferesi ? Werner ? 

1/2 [ sin (-x) + sin (9x ) ] = 1/2 [ sin 3x + sin 9x ] 

sin (-x) = sin 3x 

allora o 

- x = 3x + 2 k pi 

4x = 2 k pi 

x = k pi/2

oppure 

3x = x + pi + 2k pi

2x = pi + 2k pi 

x = pi/2 + k pi 

che é contenuta nella precedente per cui 

x = k pi/2 con k in Z