Data l'equazione $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{13-k}=1$, stabilisci per quali valori di $k$ :
a. rappresenta un'ellisse $o$, come caso particolare, una circonferenza;
b. rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse $y$;
c. rappresenta un'ellisse con un fuoco di coordinate $(-1 ; 0)$.
[a) $k<13, k=9$; b) $k<9$; c) $k=10$ ]
Mi aiutate con l'es. numero 273. grazie!
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Livello 2
Ripasso
Ogni conica a centro non degenere Γ riferita ai suoi assi ha equazione di forma
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
con
* semiassi (a, b) positivi
* semidistanza focale c = √(|a^2 ± b^2|)
Per le ellissi si ha
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
* c = √(|a^2 - b^2|)
con la distinzione di casi
* 0 < a < b: ellisse con i fuochi sull'asse y
* 0 < a = b: circonferenza
* a > b > 0: ellisse con i fuochi sull'asse x
Risposte ai quesiti
* Γ ≡ x^2/4 + y^2/(13 - k) = 1
a1) rappresenta un'ellisse per 13 - k > 0 ≡ k < 13
a2) rappresenta una circonferenza per 13 - k = 4 ≡ k = 9
b) rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse y per 0 < 4 < 13 - k ≡ k < 9
c) rappresenta un'ellisse con un fuoco di coordinate (- 1, 0) sull'asse x
* (4 > 13 - k > 0) & (√(|4 - (13 - k)|) = 1) ≡
≡ (9 < k < 13) & ((k = 8) oppure (k = 10)) ≡
≡ k = 10
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Genius I
a) deve risultare b^2 = 13 - k > 0 => k - 13 < 0 => k < 13
si ha una circonferenza se b = a = r => 13 - k = 4 => k = 13 - 4 = 9
b) b^2 > a^2 => 13 - k > 4 => 13 - 4 > k => k < 9
c) c^2 = (-1)^2 = 1
e poiché il fuoco é sull'asse x
c^2 = a^2 - b^2
1 = 4 - (13 - k)
1 = 4 - 13 + k
k = 1 + 13 - 4
k = 10
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Livello 7
