[Risolto] Elettrotecnica

Esercizio N° 2

L'esame del transitorio è decisamente complesso (comporta la risoluzione di equazioni differenziali) in quanto siamo in presenza di 2 costanti di tempo (Ƭc = 214 ms e Ƭl = 860 ms).

Qualitativamente succede questo :

il condensatore è inizialmente un corto circuito (con tensione ai suoi capi = 0) mentre l'induttore è un circuito ad altissima impedenza.

In un tempo t1 di circa 1 secondo il condensatore si carica ad una tensione iniziale Vci = e*r2/(r1+r2) = 9*4/7 = 5,14 V e con questa forza inizialmente la corrente ad aumentare nell'induttore fintanto che quest'ultimo, dopo un tempo t2 di circa 5,00 s diventa un corto circuito portando a zero la tensione del condensatore

Il rapporto Ƭl/Ƭc = 4 fa si che, grossolanamente , transitorio induttivo e transitorio capacitivo avvengano l'uno dopo l'altro

es1

E1= E exp(i*0)= E =250/sqrt3 ... se fosse simmetrico
z1 = r = 160 ohm
z2 = i*2pi*50*1*10^-3 = (i π)/10 = ~ 0.31416 *i ohm
z3 = (1/(i*2pi*50*6.25*10^-3+i*2pi*50*1*10^-3))^-1 = ~2.27765i ohm
Vo'o = (E/z1+Eexp(-i2pi/3)/z2 + Eexp(i2pi/3)/z3)/(1/z1+1/z2+1/z3) = 1/sqrt3(250/160+250exp(-i2pi/3)/((i π)/10)+250exp(i2pi/3)/(2.27765i)/(1/160 + 10/(i*pi)+1/(2.27765i)) = 118.864 e^(-2.22499 i).... r = 118.864 (radius), θ = -2.22499 (angle).... r = 118.864 (radius), θ = -127.483° (angle)

V1 = E1 - Vo'o = 250/sqrt3 - 118.864 e^(-2.22499 i) = 236.309 e^(0.410591 i) V = V1*exp(0.410591 i)

Pr =V1*i1= V1*V1/r1 = V1^2/r1 = 236.309^2/160 = ~349.012 W

controlla i conti!

DIE.ING.UNIBO.IT "http://www.die.ing.unibo.it/pers/grandi/bologna/cel/2011/Diapo-27c.pdf"

Es2

e(t) = 9V = E
ieq = E/r1= 9/3 = 3 A con in parallelo la r1=3 ohm
req = rp = r1*r2/(r1+r2) =3*4/7 =12/7 = ~ 1.7143 ohm

eq2°ord-differ.

d²v/dt² + 1/(req*C)*dv/dt + v/(L*C) = ieq/C
alfa = 1/(2reqC) = 1/(2*1.7143*125*10^-3)= ~ 2.333314  ; wo² = 1/(LC)    --->  wo = 1/sqrt(LC) = 1/sqrt(0.5*125*10^-3) = 4 rad/s    --->   risposta sottosmorzata

{se i calcoli sono corretti}

con le condizioni iniziali :

v(0) = 0 V   per il corto di C che si suppone scarico 

dv(0)/dt = ic(0)/C = 3*10^3/125  ... è iL(0)=0   per il "blocco" iniziale della L

...dove sostituire v(t) a x(t) ... e wd = ~ 3.25 a wo .

...visto che la soluzione permanente è Xp = v(oo) = 0 per il corto della L per t---> oo .

v(t) = kexp(-alfa*t)cos(wd*t - theta) = ~ k*exp(-2.333314*t)cos(3.25*t -theta)

kcostheta = v(0) = 0  --->k*cosa=0        [ a=theta ]

k(3.25*sena-2.333313889050925*cosa) = dv(0)/dt = ic(0)/C = 3*10^3/125

theta=a = 1/2 (4 π n + π), k = 96/13, n element Z

per n=0 si ha     theta =pi/2   e  k=96/13 =~

a=0.5 (pi)   ,     k≈7.38462 = ~ 7.4

da controllare:

v(t) = kexp(-alfa*t)cos(wd*t - theta) = ~ 7.4*exp(-2.333314*t)cos(3.25*t - 0.5pi)