Buongiorno a tutti, sto studiando da autodidatta le derivate e imbattendomi nello studio della derivata seconda non riesco a capire cosa possa fornire? Cioè sappiamo che la derivata prima fornisce l’andamento della curva in base al coefficiente angolare della rette tangenti in ogni singolo punto della funzione, in base a questo è possibile comprendere se la funzione cresce o decresce. Ma la seconda?
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Livello 2
@fede-uwu y''(x) ci dice la concavità e dove si annulla ci sono i flessi, cambio di concavità. y = x^3; y'(x) = 3 x^2 >0; [y(x) è sempre crescente];
y''(x) = 6x; negativa per x< 0, concavità verso il basso; positiva per x >0, concavità verso l'alto;
x = 0, y'' si annulla, c'è il flesso cambio di concavità.
ciao
La derivata seconda ti dice la concavità, se positiva verso l'alto, se negativa verso il basso; dove si annulla c'è un flesso, un cambio di concavità.
Esempio semplicissimo:
y(×) = x^2; parabola ;
y'(x) = 2x; decresce per x < 0; cresce per x > 0; in x = 0 c'è un minimo
y''(x) = 2 ; sempre positiva ; concavità verso l'alto;
y = - x^2;
y'(x) = - 2x, crescente per x < 0; decrescente per x > 0; x = 0, massimo;
y''(x) = - 2 concavità verso il basso.
Ciao @fede-uwu
y''(x) ci dice la concavità e dove si annulla ci sono i flessi, cambio di concavità.
esempio semplice da tenere in mente: y = x^3 (cubica).
y = x^3; y'(x) = 3 x^2 >0; [y(x) è sempre crescente];
y''(x) = 6x; negativa per x< 0, concavità verso il basso; positiva per x >0, concavità verso l'alto;
x = 0, y'' si annulla, c'è il flesso cambio di concavità.
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Genius II
In breve, ti dice come si comporta il grafico della derivata prima di una funzione (prova a disegnare il grafico della derivata prima di $x³+2x$ e ragionaci sopra). Ad esempio, se la derivata seconda si annulla, significa che la derivata prima potrebbe avere un punto di massimo nel punto di annullamento della derivata seconda e questo è piuttosto utile negli esercizi per ottenere alcune informazioni sul grafico. Un altro aspetto interessante è che, analizzando l'andamento della derivata prima, ti dice quando questa cresce o decresce e da lì puoi capire la concavità della funzione originale e la posizione di eventuali flessi.
Ti stai pian piano addentrando nell'astrazione matematica 🙂 Ti consiglio di dare un'occhiata anche alle serie di Taylor (Analisi I), che ti permettono di ridurre molte funzioni (quelle analitiche) a semplici polinomi grazie alle derivate di ordine superiore al primo. È un concetto molto profondo matematicamente parlando, perché mostra una natura particolare dei polinomi, i quali possono approssimare funzioni come seno, coseno, esponenziali e altre. Quando più in là studierai anche la matrice di Frobenius e gli anelli in algebra astratta (potrai trattare polinomi, matrici e campi numerici allo stesso modo; non ti sei mai chiesto perché puoi scomporre i polinomi come se fossero numeri?) ne rimarrai ancora più affascinato 😉
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Livello 6
@rebc Grazie mille RebC, mi affascinano molto le tue risposte e mi spingono a incuriosirmi ancora di piu! 😄
@fede-uwu mi fa piacere; in matematica e altre discipline meno concrete la curiosità è tutto, senza essa non si hanno molte motivazioni per proseguire 🙂
Riguarda il concetto di concavità e convessità.
Cerca qualcosa su Internet: e' la posizione della curva sopra o sotto la sua tangente locale.
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Livello 7
