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[Risolto] Disequazione logaritmica 680

  

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Buona sera; invio testo della disequazione logaritmica 680 dove, dopo svariati tentativi di risoluzione, non sono riuscito a trovare quelle esatte. La difficoltà che incontro consiste nel fatto che l'incognita si trova nel primo logaritmo all'argomento, nel secondo alla base pur essendo identici. La risposta è 1 minore di x minore o uguale a radice cubica di 3 oppure x maggiore o uguale a 27. Ringrazio ancora una volta chi vorrà aiutarmi come ormai accade da tanto tempo. 

P.S. Ho svolto anche la disequazione logaritmica 679 ponendo lnx = t e ho ottenuto come risultato solo il secondo cioè e minore uguale x minore uguale e^2. Il primo, 0 minore di x minore di 1 non mi corrisponde. Lo so che in una richiesta non si possono proporre 2 quesiti, ma, se qualcuno volesse fare un'eccezione, gliene sarei grato. Ancora buona serata a tutti.

20221029 185618

 

Autore
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@beppe

20221029 200006
20221029 201458

 



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@beppe

Ciao Beppe,

Un possibile svolgimento dell'esercizio 679) è:

 

Insieme di definizione in R: x>0, x≠1 (ln x ≠ 0)

Posto: ln x=t  , si ricava:

 

(t² - 3t + 2)/t <= 0

[(t-1)(t-2)]/t <= 0

 

Lo studio del segno:

N(t) >=0   t<=1  oppure t>=2

D(t) > 0  t>0

 

fornisce la soluzione 

t<0  oppure 1 <= t <=2

 

Quindi: 

ln x < 0 oppure: 1 <= ln x <= 2

ln x < ln 1  oppure:  ln e <= ln x <= ln e²

 

Da cui si ricava: x<1  oppure:  e <= x <= e²

 

Intersecando la precedente condizione con le C.E.  si ricava la soluzione:

S= {0 < x < 1  v  e <= x <= e²} 

 

680)

Insieme di definizione in R: x>0 ; x≠1 (base di ln≠1) 

IMG 20221029 201309

 



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Sembrano due esercizi distinti, ma sono due facce della stessa medaglia
* a*u + b/u - c REL 0
dove u = ln(x)
------------------------------
679) ln(x) + 2/ln(x) - 3 <= 0 ≡
≡ (ln(x) + 2/ln(x) - 3 <= 0) & (ln(x) != 0) & (x > 0) ≡
≡ (u + 2/u - 3 <= 0) & (u != 0) & (e^u > 0) ≡
≡ ((u - 1)*(u - 2)/u <= 0) & (u != 0) & (e^u > 0) ≡
≡ ((u < 0) oppure (1 <= u <= 2)) & (u != 0) & (e^u > 0) ≡
≡ ((ln(x) < 0) oppure (1 <= ln(x) <= 2)) & (ln(x) != 0) & (x > 0) ≡
≡ ((0 < x < 1) oppure (e <= x <= e^2)) & (x != 1) & (x > 0) ≡
≡ (0 < x < 1) & (x != 1) & (x > 0) oppure (e <= x <= e^2) & (x != 1) & (x > 0) ≡
≡ (0 < x < 1) oppure (e <= x <= e^2)
------------------------------
680) 3*(log(3, x) + log(x, 3)) >= 10 →
→ (x > 0) & (x != 1)
680) 3*(log(3, x) + log(x, 3)) >= 10 ≡
≡ log(3, x) + log(x, 3) >= 10/3 ≡
≡ ln(x)/ln(3) + ln(3)/ln(x) - 10/3 >= 0 ≡
≡ (u/k + k/u - 10/3 >= 0) & (k > 1) ≡
≡ ((k - 3*u)*(3*k - u)/(3*k*u) >= 0) & (k > 1) ≡
≡ (0 < u <= k/3) oppure (u >= 3*k) ≡
≡ (0 < ln(x) <= ln(3)/3) oppure (ln(x) >= 3*ln(3)) ≡
≡ (1 < x <= 3^(1/3) ~= 1.44) oppure (x >= 27)

@exprof 

Grazie molte per la soluzione dei 2 esercizi da me proposti. Buona serata



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