[Risolto] problema matematica

L'area S del rettangolo inscritto nel segmento parabolico delimitato dall'asse x e dalla
* Γ(a) ≡ y = (a + x)*(a - x)
di vertici, con 0 < k < a
* A(- k, 0), B(k, 0), C(k, a^2 - k^2), D(- k, a^2 - k^2)
ha l'espressione
* S(k) = 2*k*(a + k)*(a - k)
con
* S(0) = S(± a) = 0 < S(k) <= S(a/√3) = 4*a^3/(3*√3)
mentre il perimetro ha l'espressione
* p(k) = 2*(a^2 - k^2 + 2*k)
con minimo 2*a^2 e massimo come in "DETTAGLI".
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Per a = 3, il valore del tuo caso, si ha
* p(k) = 2*(9 - k^2 + 2*k)
* S(k) = 2*k*(3 + k)*(3 - k)
con
* p(0) = 18 < p(k) <= p(1) = 20
* S(0) = S(± 3) = 0 < S(k) <= S(√3) = 12*√3
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DETTAGLI
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Perimetro
* f(x) = y = 2*(a^2 - x^2 + 2*x)
* f'(x) = dy/dx = 4*(1 - x)
* f''(x) = - 4
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) & (0 < x < a) ≡
≡ (4*(1 - x) = 0) & (- 4 < 0) & (0 < x < a) ≡
≡ (4*(1 - x) = 0) & (0 < x < a) ≡
≡ (x = 1) & (a > 1)
oppure
≡ (4*(1 - x) = 0) & (- 4 < 0) & (0 < x < a <= 1) ≡
≡ (insieme vuoto)
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Area
* f(x) = y = 2*x*(a + x)*(a - x)
* f'(x) = dy/dx = 2*(a^2 - 3*x^2)
* f''(x) = - 12*x
la condizione di massimo relativo è il sistema
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) & (0 < x < a) ≡
≡ (2*(a^2 - 3*x^2) = 0) & (- 12*x < 0) & (0 < x < a) ≡
≡ (a^2 = 3*x^2) & (0 < x < a) ≡
≡ x = a/√3

@driver28 

L'altezza é k con 0 < k <= 9

-x^2 + 9 = k

x^2 = 9 - k

x = +- rad(9 - k)

La base é 2 rad (9 - k)

l'area é 2 k rad (9 - k)

e il massimo di questa corrisponde al massimo di

4 k^2 ( 9 - k)

9 k^2 - k^3.

Se non si possono usare le DERIVATE, non saprei come fare

Altrimenti i punti stazionari sono le radici di 18 k - 3 k^2 = 0

3k ( 6 - k ) = 0 => k = 0 e k = 6

La derivata seconda é 18 - 6 k

ed é negativa per k = 6 che é un punto di massimo relativo

( e anche assoluto perché l'area S(k) vale 0 agli estremi di [0,9].

Smax = 2*6 * rad(9 - 6) = 12 rad 3

Perimetro P(k) = 2 k + 4 rad (9 - k)

la derivata é 2 + 4 * 1/(2 rad(9 - k)) * (-1) >= 0

1 - 1/rad(9 - k) >= 0

rad(9 - k) >= 1

9 - k >= 1

k <= 8

Si ha quindi un massimo per k = 8

Pmax = 16 + 4 * rad(9 - 8) = 20