Considera la funzione:
$$
f(x)=\frac{\sqrt{x^2-5 a x+4}}{4 x^2-3 a} .
$$
Determina per quali valori del parametro reale $a$ la funzione $f$ è definita in tutto $R$. Posto $a=-\frac{1}{5}$, determina il valore del parametro reale $b$ per cui il grafico della funzione $y=f(x)+b$ passa per il punto $O(0 ; 0)$.
$$
\left|-\frac{4}{5} \leq a<0 ; b=-\frac{10}{3}\right|
$$
per piacere potreste risolverla e spiegarmi ogni procedimento
grazie per chi risponderà
11
punti
Livello 0
La funzione ha come insieme di definizione R se:
{R(x) = (x² - 5ax + 4) >=0 per Vx€R
{D(x) = 4x² - 3a ≠ 0 per Vx€R
La prima condizione si ottiene imponendo che il discriminante dell'equazione di secondo grado sia minore o uguale a zero. Da cui si ricava:
25a² - 16 < 0 ==> - 4/5 <= a <= 4/5
La seconda condizione si ottiene imponendo:
3a<0 => a<0.
Se a<0, D(x) è la somma di un quadrato e di un numero positivo.
L'intersezione delle due condizioni:
{ - 4/5 <= a <= 4/5
{ a < 0
fornisce la soluzione: - 4/5 <= a < 0
Se a= - 1/5:
f(x) = radice (x²+x+4)/(4x² + 3/5)
f(0) = 10/3
Imponendo la condizione richiesta si ricava:
0= f(0)+b => b= - 10/3
77016
punti
Genius II
@stefanopescetto grazie mille ma quando ha tempo potrebbe spiegarmi proprio il perché di ogni passaggio, per esempio non ho capito perché si va a studiare il discriminante e 3a invece di 4x alla seconda +3a
@giacomo.06
Ciao, volendo puoi sempre usare, se l'equazione è di secondo grado, il discriminante (come nel primo caso) e non sbagli mai. Visto che però nel secondo caso l'equazione è incompleta (manca il termine in x) possiamo velocizzare il calcolo osservando che il denominatore è la somma algebrica di un quadrato (quindi una quantità sempre positiva) e di una quantità che deve essere positiva affinché D(x) >0
Se vuoi procedere anche in questo caso calcolando il discriminante di D(x)= 4x² - 3a ottieni:
Delta= 48a
Se Delta <0 allora D(x) >0. Delta è minore di zero se a<0.
Ritrovi il precedente risultato
@stefanopescetto ok grazie
@giacomo.06
Figurati! Spero di essere stato chiaro. Buona serata
La funzione della variabile reale x e del parametro reale a
* f(x, a) = y = √(x^2 - 5*a*x + 4)/(4*x^2 - 3*a)
ha
* dominio: l'intero piano (a, x)
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss
* insieme di definizione [4*x^2 != 3*a]: x != ± √(3*a)/2 ≡ |x| != √(3*a)/2
* insieme di definizione reale [x^2 - 5*a*x + 4 >= 0]: è l'unione di 5 sottinsiemi di (a, x)
** (a < - 4/5) & (x <= (5*a - √(25*a^2 - 16))/2) & (|x| != √(3*a)/2)
** (a < - 4/5) & (x >= (5*a + √(25*a^2 - 16))/2) & (|x| != √(3*a)/2)
** (- 4/5 <= a <= 4/5) & (|x| != √(3*a)/2)
** (a > 4/5) & (x <= (5*a - √(25*a^2 - 16))/2) & (|x| != √(3*a)/2)
** (a > 4/5) & (x >= (5*a + √(25*a^2 - 16))/2) & (|x| != √(3*a)/2)
------------------------------
"per quali valori di a la f(x) è definita per ogni x" PER (- 4/5 <= a < 0).
Infatti per a < 0 si ha √(3*a)/2 immaginario, mentre x resta reale e non può eguagliarlo.
------------------------------
"Posto a = - 1/5 ..."
La nuova funzione
* g(x, b) = f(x, - 1/5) + b = y = √(x^2 + x + 4)/(4*x^2 + 3/5) + b
nell'origine vale
* g(0, b) = y = √(0^2 + 0 + 4)/(4*0^2 + 3/5) + b = b + 10/3
quindi
* g(0, - 10/3) = y = - 10/3 + 10/3 = 0
------------------------------
I risultati attesi sono confermati.
57798
punti
Genius I
