[Risolto] Dimostrazione formula dell'incentro nel piano cartesiano.

Dimostrazione:

Sia dato un triangolo con vertici:
\[
A(x_a, y_a), \quad B(x_b, y_b), \quad C(x_c, y_c)
\]
e siano:
\[
a = \text{lunghezza del lato } BC = |BC|,\quad
b = |AC|,\quad
c = |AB|
\]

L'incentro \(I\) è il punto di intersezione delle bisettrici interne e centro della circonferenza inscritta nel triangolo. Esso è equidistante da tutti e tre i lati del triangolo.

Per dimostrarne la formula in coordinate, si osserva che l’incentro è una combinazione convessa dei tre vertici, con pesi proporzionali ai lati opposti:

\[
I = \frac{a A + b B + c C}{a + b + c}
\]

cioè:

\[
x = \frac{a x_a + b x_b + c x_c}{a + b + c}, \qquad
y = \frac{a y_a + b y_b + c y_c}{a + b + c}
\]

Questa proprietà si giustifica dal teorema della bisettrice interna: la bisettrice di ciascun angolo divide il lato opposto in parti proporzionali ai lati adiacenti, quindi il punto di intersezione delle bisettrici è ottenuto tramite pesi \(a, b, c\), ossia le lunghezze dei lati opposti ai vertici \(A, B, C\).

Se si denota con \(p = \dfrac{a + b + c}{2}\) il semiperimetro del triangolo, allora le coordinate dell’incentro si possono scrivere anche come:

\[
x = \frac{a x_a + b x_b + c x_c}{2p}, \qquad
y = \frac{a y_a + b y_b + c y_c}{2p}
\]