Asintoti funzione algebrica

Funzione razionale fratta. Il grado del N(x) è pari al grado del D(x): quindi si riconosce un unico asintoto orizzontale di equazione y=1 pari al rapporto dei coefficienti di grado massimo (ossia 1/1). Gli asintoti verticali sono gli zeri del trinomio al D(x) ossia x=-1 ed x =5.

Con i limiti studi le condizioni agli estremi del C.E.:

]-inf;-1[U]-1;5[U]5;+inf[

LIM(x^2/(x^2-4x-5))=

=LIM(x^2/(x^2(1-4/x-5/x^2))=1

sia per x—->-inf che per x——>+inf in quanto tendono a 0 due termini presenti al D(x) nella parentesi. Quindi asintoto y =1 derivante dalla semplificazione di x^2 presenti al N(x) ed al D(x).

LIM(x^2/((x+1)(x-5))=+inf

x——>-1-

forma:(1/((0-)(-6)))=(1/(0+))

LIM(x^2/((x+1)(x-5))=-inf

x——>-1+

forma:(1/((0+)(-6))=(1/(0-))

questi due limiti segnalano la presenza dell’ asintoto verticale x=-1

$ y(x) = \frac{x^2}{x^2-4x-5} = \frac{x^2}{(x+1)(x-5)}$

Ricorda, quando si ha a che fare con le funzioni determinare sempre, come prima operazione il dominio.

• Dominio.

La funzione è definita in tutto ℝ, salvo i punti che annullano il denominatore

Dominio = ℝ\{-1, 5}

• • • Osserviamo che vi sono due punti di discontinuità. Probabili sedi di asintoti verticali.

Con l'uso dei limiti determiniamo se siamo in presenza di asintoti.

• Asintoti Verticali.

• • • per x = -1
    • $ \displaystyle\lim_{x \to -1^-} y(x) = \frac{1}{(0^- \cdot (-6))} = +\infty$
    • $ \displaystyle\lim_{x \to -1^-} y(x) = \frac{1}{(0^+ \cdot (-6))} = -\infty$
    • Siamo in presenza di un asintoto (bilaterale) di equazione x = -1

nota. Il simbolo $ \{1/(0^- \cdot (-6)\} $ che si pensa, si dice ma non si scrive, significa che dividiamo un numero positivo 1 per il prodotto di due numeri negativi (-6) e (0⁻, cioè i numeri che stanno a sinistra dello zero)

• • • per x = 5
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 5^-} y(x) = \frac{25}{(6 \cdot (0^-))} = -\infty$
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 5^+} y(x) = \frac{25}{(6 \cdot (0^+))} = +\infty$
    • Siamo in presenza di un asintoto (bilaterale) di equazione x = 5

• Asintoti orizzontali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^2-4x-5} =  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1-4\frac{1}{x}-5\frac{1}{x^2} } = 1 $

Ho diviso numeratore e denominatore per x²

• • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2-4x-5} =  \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1-4\frac{1}{x}-5\frac{1}{x^2}} = 1 $
  • Si tratta di una asintoto orizzontale (bilaterale) di equazione y = 1.

Se scomponi il denominatore, vedi per quali valori di x diventa 0; quando il denominatore diventa 0, la funzione tende all'infinito e ha asintoti verticali.

x^2 - 4x - 5 = 0;

formula ridotta:

x = 2 +- radice quadrata(4 + 5) = 2 +- 3;

x1 = 2 + 3 = 5;

x2 = 2 - 3 = - 1;

x^2 - 4x - 5 = (x - 5) (x + 1) = 0 ;

f(x) = x^2 / [(x - 5) (x + 1)]

asintoti verticali, paralleli all'asse y:

x = 5;

x = - 1.

asintoto orizzontale;

dividiamo numeratore e denominatore per x con esponente maggiore (x^2);

f(x) =  [x^2 / x^2] / [(x^2/x^2) - (4x/x^2) - 5/x^2];

f(x) = 1 / [1 - 4/x - 5/x^2];

lim --->(per x che tende a + ∞) [4/x] = 0;

lim --->(per x che tende a + ∞) [5/x^2] = 0;

lim --->(per x che tende a + ∞) f(x) =  1 / (1 + 0 + 0) = 1;

f(x) = 1;

asintoto orizzontale:  y = 1.

Ciao @leo07