[Risolto] Area quadrilatero

SOLUZIONE:

La risposta corretta è $\textbf{D.}$

Guarda questo disegno per aiutarti a capire la dimostrazione. 

Come vedi dal disegno, ho diviso un generico quadrilatero $ABCD$ di diagonale maggiore $d_2=2m$ e diagonale minore $d_1=1m$ che si intersecano in un punto $I$ in due triangoli con base in comune $d_1$. L'area del quadrilatero è dunque la somma delle aree dei due triangoli. Tracciando le altezze relative alla base in comune $d_1$ individuo i segmenti $\overline{DE}$ e $\overline{CF}$, quindi l'area risulta $A=A_1+A_2= \frac{1}{2} d_1 \overline{DE} + \frac{1}{2} d_1 \overline{CF}$. Nota che $\overline{DE} = \overline{DI} \sin \alpha$ e $\overline{CF} = \overline{IC} \sin \alpha '$ ($\alpha \cong \alpha '$ perché sono angoli opposti al vertice), quindi riscriviamo: $A = \frac{1}{2} d_1 \overline{DI} \sin \alpha + \frac{1}{2} d_1 \overline{IC} \sin \alpha = \frac{1}{2} d_1 \sin \alpha (\overline{DI} + \overline{IC})$ ma chiaramente $\overline{DI} + \overline{IC} = \overline{DC} = d_2 = 2m$, quindi $A= \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha = \frac{1}{2} 1m \cdot 2m \sin \alpha = 1m^2 \sin \alpha$. Dato che, nel nostro caso $ 0 < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, avremo che $0 < \sin \alpha \leq 1$, moltiplicando ogni membro della disuguaglianza per $1m^2$ otteniamo $0m^2< 1m^2 \sin \alpha \leq 1m^2$, tuttavia $1m^2 \sin \alpha = A$ come abbiamo già visto, quindi $0m^2 < A \leq 1m^2$. 

NOTA:

$0< \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ perché per $\alpha = 0$ il quadrilatero è degenere (non ha più 4 lati, ma 3 perché 3 punti giacciono sulla stessa retta), mentre per $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ si ricorda che $\sin \alpha = \sin(\pi - \alpha)$ (non è necessario scegliere l'angolo acuto perché angoli supplementari hanno lo stesso seno, ma per semplicità di comprensione ho scelto quello). Per finire dimostro l'affermazione in rosso:

$\sin(\theta) = \cos (\frac{\pi}{2} - \theta)$ perché seno e coseno sono uno il complementare dell'altro. Ricordo che $\cos(\theta)$ è una funzione pari, quindi $\cos(\theta) = \cos(-\theta)$, allora $\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2}- \theta) = \cos (\theta - \frac{\pi}{2})$. Applicando il ragionamento della complementarietà di nuovo ottengo finalmente che $\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2}- \theta) = \cos (\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}-(\theta - \frac{\pi}{2}))= \sin(\frac{\pi}{2} - \theta +\frac{\pi}{2}) = \sin(\pi - \theta)$, quindi $\sin(\theta) = \sin(\pi - \theta)$.

Come volevasi dimostrare.

Uso lo sketch postato da Gabo (che ringrazio e saluto con l'augurio di una felice Domenica) :

L'area del quadrilatero è pari al prodotto tra la diagonale minore AB e la somma delle due altezze DE e CF , il tutto diviso 2. Va da se che la somma delle due altezze è, genericamente, < della diagonale maggiore che vale 2 , pertanto l'area è < 1 fatta eccezione per il rombo, in cui le diagonali sono _l_ e la somma delle altezze coincide con la diagonale maggiore dando all'area il valore unitario !!