Volume del solido scrittto in precedenza

Se la figura triangolare precedente ruota attorno asse delle x:

Si ha un solido che per il 2° teorema di Pappo Guldino ha volume pari a:

V = 2·pi·r·A------> V = 2·pi·(4/3)·(1/2) = 4·pi/3

Se la figura triangolare ruota attorno asse z non si ha un solido a tre dimensioni ma una corona circolare di larghezza √2 = AC . Quindi una superficie.

I tre volumi saranno diversi, perchè il volume  dipende da due fattori:

1 l'area del triangolo, che rimane invariata

2 la distanza che il "centro" (baricentro) della figura percorre durante il giro.

Se la figura è più lontana dall'asse, descrive un cerchio più grande e quindi "sposta" più volume. I volumi sarebbero stati uguali solo se il baricentro fosse stato sulla bisettrice y=x (ovvero se y(g)=x(g). Siccome il triangolo è "più spostato" verso destra (asse x) di quanto non lo sia verso l'alto (asse y), la rotazione attorno all'asse y
genera un raggio medio maggiore e, di conseguenza, un volume maggiore rispetto alla rotazione attorno all'asse x. Baricentro G ha coordinate x(g) =(1+2+2)/3 y(g)=(1+1+2)/3, z(g)=0+0+0/3 cioè G(5/3, 4/3, 0) perciò V(y)=Area x(2pigreco)x5/3 mentre V(x) =Areax(2pigreco)x4/3 perciò V(y)>V(x). Ovviamente poi la rotazione attorno all'asse z, genera solo una superficie ua specie di anello circolare, appartenente al piano xy e con quota z nulla, quindi il volume sarà nullo G(z)= 0+0+0/3 quindi V(z) = 0