Conseguenze del teorema di Lagrange

Osserviamo che entrambe le funzioni hanno lo stesso dominio

Dominio(arcsin(x-1)) = Dominio(arccos(x-1)) = [0, 2]

Definiamo la funzione φ(x) come la differenza tra le due funzioni in oggetto definita in [0, 2]

φ(x) := -arcsin(x-1) - arccos(x-1) = -(arcsin(x-1)+(arccos(x-1))

Valutiamone la derivata

$ \frac{d\,φ(x)}{dx} = - (\frac{d\, arcsin(x-1)}{dx} + (\frac{d \,arccos(x-1)}{dx}) = - [\frac{1}{\sqrt{((x-2) x)}} - \frac{1}{\sqrt{((x-2)x)}}] = 0 $

Questo significa che 

φ(x) = k   con k∈ℝ per ogni x∈[0, 2] 

ovvero la tesi.

Per valutare la costante è sufficiente calcolare φ(x) in un generico punto del dominio; esempio x = 1 

φ(1) = - arcsin(0) -arccos(0) = 0 - π/2

Hanno la stessa derivata che é -1/sqrt[1 - (x-1)^2] 

per determinare la costante poni un valore qualsiasi in entrambe e

prendi la differenza : scegliendo ad esempio x = 1 risulta 

- arcsin (1 - 1) = 0

arccos ( 1 - 1 ) = pi/2 

per cui la costante é 0 - pi/2 = - pi/2