Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
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Livello 2
Grazie mille a tutti, gentilissimi.
Problema:
Disegna la porzione di piano S formata dai punti (x,y) tali che:
$\{ -6 \leq x \leq 6; \sqrt{|x|} \leq y \leq \frac{6-x}{5} \}$ e calcola il volume del solido che si ottiene ruotando S di un giro completo intorno all'asse delle ascisse.
(Istituzioni di matematiche, luglio 2003, Chimica, Università di Padova)
Soluzione:
La parte difficile risiede nel disegnare il grafico, per farlo individua prima le funzioni/intervalli coinvolte/coinvolti:
$[-6,6], f_2(x)=\sqrt{|x|}, f_3(x)=\frac{6-x}{5}$
Si disegna una disequazione alla volta.
La prima disequazione altro non è che un intervallo, quindi la regione di piano tra [-6,6] sulle ascisse.
Sopra il medesimo grafico si aggiungono le altre, la seconda disequazione è particolare dato che si ha $f_2(x) \leq y \leq f_3(x)$. Ciò significa che bisogna considerare l'intervallo sulle ordinate, ossia si considera la regione di piano (blu) in mezzo a $f_2(x)$ (viola) e $f_3(x)$ (verde).
Il sistema è risolto esclusivamente dalla parte blu dato che soddisfa tutte le condizioni.
Per calcolare il volume di rotazione invece è necessario individuare prima l'intervallo da considerare sulle ascisse, esso è dato dai punti di intersezione di $f_2(x)$ e $f_3(x)$, ossia (-4,2) e (1,1). Poiché il volume richiesto è quello blu, non a contatto con l'asse delle ascisse, si calcola prima il volume generato dalla rotazione della funzione verde e si sottrae da esso il volume generato dalla funzione viola. Tramite la formula dei solidi di rotazione si ha dunque:
$V=\pi \int_{a}^{b}[f(x)]^2 dx$
$V_S=\pi \int_{-4}^1 f_3^2(x) dx - \pi \int_{-4}^1 f_2^2(x) dx= \pi \int_{-4}^1 (f_3^2(x) - f_2^2(x) )dx= \pi ( \frac{35}{3} - (\frac{1}{2}+8))=\frac{19\pi}{6}$ (rivedi i conti)
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Livello 6
@rebc Ciao, anch'io avevo ottenuto il tuo medesimo risultato(19π/6) utilizzando tre metodi diversi. Ciò che mi ha trattenuto dal postare la soluzione è il fatto che ho trovato online il testo con la correzione della prova d'esame da cui è stato tratto il problema. La soluzione, con il passaggio iniziale impostato ma non svolto, riportava come valore del volume il dato errato 2π. Vedi il pdf della correzione e l'immagine dell'esercizio 4. Errare umanum est, ma da una prova d'esame universitaria mi sarei aspettato una maggiore attenzione nell'indicare il valore numerico della soluzione.
@Gregorius Nella seconda parte con $x \in [-6,-4]$ non ci dovrebbe essere problema dato che in quel punto la disuguaglianza $f_2(x) \leq y \leq f_3(x)$ non è rispettata.
Sul resto sono d'accordo con te, spero che gli studenti di quella annata siano stati valutati attentamente...
@rebc Hai nuovamente ragione. Ho provato a calcolare tutti i possibili volumi parziali fra i vari tratti, senza tener conto della disuguaglianza posta dal problema, ma anche in questo caso non ho trovato il valore 2π.