Un'urna contiene 1 pallina nera e 9 palline bianche. Un gioco consiste nell'estrarre simultaneamente 4 palline dall'urna, quindi nel lanciare un dado cubico regolare con le facce numerate da 1 a 6 . Se tra le palline estratte c'è quella nera, il giocatore vince se nel lancio del dado esce un numero pari; se tra le palline estratte non c'è quella nera, il giocatore vince se nel lancio del dado esce il numero 1 . Per partecipare al gioco il giocatore deve sborsare $m$ euro; se il giocatore vince, riceve come premio 10 euro, se il giocatore non vince ma tra le palline estratte c'è quella nera, il giocatore recupera la cifra spesa per giocare; se infine il giocatore non vince e tra le palline estratte non c'è quella nera, il giocatore perde la cifra sborsata per giocare.
Indica con $X$ la variabile aleatoria che esprime la cifra guadagnata o persa dal giocatore dopo avere giocato.
a. Determina la distribuzione di probabilità di $X$.
b. Stabilisci per quale valore di $m$ il gioco è equo.
[a. $X$ può assumere i valori $10-m, 0,-m$, rispettivamente con probabilità $\frac{3}{10}, \frac{1}{5}, \frac{1}{2}$;
b. risulta $E(X)=\frac{15-4 m}{5}$, pertanto il gioco è equo quando $m=3,75$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
