[Risolto] Trigonometria e geometria analitica

Facciamo riferimento alla figura allegata sopra: gli angoli α, β e γsono gli angoli del triangolo ABC con le solite convenzioni.

Consideriamo il triangolo AOB esso deve essere un triangolo rettangolo isoscele con AB ipotenusa ad esso relativa (AB=√(r^2 + r^2) = √2·r). Quindi pi/2 è angolo alla circonferenza sotteso arco AB e quindi γ = pi/4 perché angolo alla circonferenza che è la metà dell'angolo al centro corrispondente.

α e 2·α per lo stesso motivo sono angoli alla circonferenza ed al centro corrispondenti all'arco BC.

Quindi l'angolo: θ = 2·pi - (pi/2 + 2·α)---> θ = 3·pi/2 - 2·α

L'angolo : β = θ/2 = 3/4·pi - α

(angolo al centro ed angolo alla circonferenza che insistono su arco AC)

Quindi l'area A richiesta:

Α = 1/2·(r·√2)·(8/5·r)·SIN(3/4·pi - α)

Α = 4·√2·r^2·SIN(α + pi/4)/5

Quindi calcoliamo:

SIN(α + pi/4) = SIN(α)·COS(pi/4) + SIN(pi/4)·COS(α)

SIN(α + pi/4) = √2·COS(α)/2 + √2·SIN(α)/2

Dal Th della corda:

ΒC = 8/5·r = 2·r·SIN(α)---> SIN(α) = 8/5·r/(2·r)

quindi: SIN(α) = 4/5  con 0 < α < pi/2

COS(α) = √(1 - (4/5)^2)---> COS(α) = 3/5

Ne consegue che:

SIN(α + pi/4) = √2·(3/5)/2 + √2·(4/5)/2 = 7·√2/10

E quindi finalmente:

Α = 4·√2·r^2·(7·√2/10)/5----> Α = 28·r^2/25

64/25*r^2 = r^2+r^2-2r^2*cos BOC

r^2(64/25-2r^2 = -2r^2*k 

14r^2/25 = -2r^2*k 

k = -14/25 /2 = -14/50 

angolo BOC = arccos -14/50 = 106°

angolo OBC = angolo OCB = (180-106)/2 = 37°

angolo AOC = (360-90-106) = 164°

angolo CAO = angolo ACO = (180-164)/2 = 8°

OK = r*cos 53° = 0,60r

OH = r*sin 8°

AH = r*cos 8°

area AOB = r^2/2

area BOC = 8r/5*0,30r = 2,4r^2/5 

area AOC = r^2*sin 8°*cos 8° = 0,12r^2

area ABC = r^2(1/2+2,4/5+0,12) = 1,120r^2

check 

AC = 1,980r 

p = (1,414+1,98+1,60)/2 =2,497

A = √2,497*(2,497-1,414)*(2,497-1,98)*(2,497-1,60) = 1,120 ...ci siamo