[Risolto] triangolo isoscele inscritto

DISEGNO

 
DATI

• $CD=50cm$
• $HC=32cm$
   

SOLUZIONE

Poiché conosciamo il diametro del cerchio possiamo trovare la misura del raggio e quindi anche l’area del cerchio

$OD=CD2=25cm$

$A_{cerchio}=\pi{r}^{2}=\pi\cdot(25cm)^{2}=1963,5cm^{2}$

Consideriamo il triangolo $CDB$, che è un triangolo rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza ($CD$ è infatti un diametro).

Conosciamo le misure dei segmenti: $CD$, $CH$ e quindi per differenza:

$HD=CD-HC=50cm-32cm=18cm$

Per il secondo teorema di Euclide l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

$CHHD$

Per una proprietà delle proporzioni

A questo punto possiamo calcolare la misura della base del triangolo isoscele

$AB=2\cdot{HB}=2\cdot24cm=48cm$

e con il teorema di Pitagora calcoliamo la misura del lato obliquo $CB$ (ipotenusa del triangolo rettangolo $CHB$):

Ora che conosciamo la misura di tutti i lati del triangolo isoscele e l’altezza, troviamo il perimetro e l’area:

$2p=AB+2CB=48cm+2\cdot40cm=128cm$

$A=\frac{b\cdot{h}}{2}=\frac{AB\cdot{HC}}{2}=\frac{48cm\cdot32cm}{2}=768cm^{2}$

area triangolo At = 24*32 = 768 cm^2

AC = 8√3^2+4^2 = 8*5 = 40 cm

perimetro 2p = 2*(40+24) = 128 cm

area del cerchio Ac = π*25^2 = 625π cm^2

In una circonferenza di diametro di 50 cm è inscritto un triangolo isoscele con altezza di 32 cm. Calcola il perimetro e area del triangolo e area del cerchio.

=============================================================

Cerchio

Raggio $\small r= \dfrac{d}{2} = \dfrac{50}{2} = 25\,cm;$

area $\small A= r^2·\pi = 25^2·\pi = 625\pi\,cm^2.$

Triangolo isoscele inscritto

Corda o base del triangolo isoscele:

$\small b= 2·\sqrt{r^2-(h-r)^2} = 2·\sqrt{25^2-(32-25)^2} = 2·\sqrt{25^2-7^2} = 2·24 = 48\,cm;$

ciascun lato obliquo:

$\small l= \sqrt{h^2+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{32^2+\left(\dfrac{48}{2}\right)^2} = \sqrt{32^2-24^2} = 40\,cm$ (teorema di Pitagora);

perimetro $\small 2p= b+2·l = 48+2·40 = 48+80 = 128\,cm;$

area $\small A= \dfrac{b·h}{2} = \dfrac{48·\cancel{32}^{16}}{\cancel2_1} = 48·16 = 768\,cm^2.$