Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Associamo all'equazione la funzione f(x) così definita
$ f(x) := ln|x-1| - \frac{1}{x-1} $
E' chiaro che a ogni soluzione dell'equazione corrisponda uno zero della funzione.
Determiniamo l'esistenza e l'eventuale unicità degli zeri di f(x).
a. Esistenza.
f(x) è definita in [2, 3] che risulta chiuso e limitato, inoltre
i) f(2) = -1
ii) f(3) = ln(3) -1/2 ≈ 0, 6 > 0
Per il teorema di Bolzano esiste almeno un punto c∈[2,3] tale che f(c) = 0
Esiste almeno una soluzione.
b. La soluzione è unica.
Consideriamo la derivata di f(x)
$ f'(x) = \frac{x}{(x-1)^2} $
La derivata f'(x) risulta positiva ∀x∈[2, 3], ne consegue che f(x) è monotona strettamente crescente in [2, 3] ovvero iniettiva. In altre parole la soluzione è unica.
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Livello 6