Teorema i Rolle

i) f(a) = f(b)

• f(-8) = 3
• f(1) = a+b+1

$ f(-8) = f(1) \; \implies \; a = 2-b $  (*)

ii) f(x) continua in [-8, 1]

I due tratti sono funzioni continue, occorre verificare che lo sia nel punto di raccordo x = 0

• $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$ 
• $ f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$

La funzione è continua indipendentemente dai valori attribuiti alle costanti a e b

iii) Derivabile in (a, b)

Calcoliamo la funzione derivata f'(x)

$ f'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \\ 2ax+b \end{cases} $

I due tratti sono funzioni derivabili, occorre verificare che lo sia nel punto di raccordo x = 0, cioè che le due derivate laterali siano eguali

• $ D^-f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \frac{1}{2}$ 
• $ D^+f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f'(x) = b$

La funzione è derivabile anche nel punto x = 0 se e solo se $b = -\frac{1}{2}$

dal punto (*) ricaviamo $a = \frac{5}{2}$

iv) punti garantiti da Rolle

1. f'(x) = 0 in (-8,0)   nessuno.
2. f'(x) = 0 in [0,1)  ⇒ 5x₀ - 1/2 = 0   ⇒ x₀ = 1/10

Un solo punto.