Teorema di Lagrange

a.  f(x)

$ f(x) =|x^2-2x| $   in [1, 3] 

$ f'(x) = \frac{2(x-2)(x-1)x}{|x(x-2)|} $

i) La funzione f(x) è una funzione definita e continua in ℝ a maggior ragione sarà continua in [1, 3]

ii) Il punto x = 2 è un punto dove verificare l'esistenza della derivata. Usiamo la tecnica delle derivate laterali.

$ D^- f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f'(x) = -2 $
$ D^+ f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f'(x) = 2 $

Le derivate laterali sono diverse, f(x) non è derivabile per x = 2. Non possiamo applicare Lagrangia.

b.  g(x)

$ g(x) = \frac{2-x}{x+4} $    in [1, 3]

$g'(x) = -\frac{6}{(x+4)^2} $

i) la funzione g(x) è parte di una funzione omografica (iperbole) definita e continua in [1, 3]

ii) la derivata di g(x) è definita in (1, 3)

quindi possiamo applicare il teorema di Lagrangia. Esiste c∈[1, 3] tale che valga

$ \frac{g(3) - g(1)}{3-1} = -\frac{6}{(c+4)^2} $

$ \frac{-\frac{1}{7} - \frac{1}{5}}{2} = -\frac{6}{(c+4)^2} $

$ -\frac{6}{35} = -\frac{6}{(c+4)^2} $

$ (c+4)^2 = 35$

$ c+4 = \sqrt{35} $

$ c = \sqrt{35} - 4 $ 

Calcoliamo le coordinate del punto c 

$ g(c) = \frac{6-\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$

Le coordinate del punto sono  $ c(\sqrt{35}- 4,   \frac{6-\sqrt{35}}{\sqrt{35}}) $

Visti i risultati direi che sono da controllare i calcoli fatti. in alternativa se scrivi i risultati del libro posso provare a rintracciare gli eventuali errori.