Teorema di de l'Hopital

Question

[attach]120675[/attach] Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

displaystyle  lim _{x  to 0^+} (sinx)^{2x} =$ esprimiamola con l'identità logaritmica $ =  displaystyle  lim _{x  to 0^+} e^{ln(sinx)^{2x}} = $ $ =  displaystyle  lim _{x  to 0^+} e^{2x . ln(sinx)} = $ per la continuità della funzione esponenziale $ = e^{ displaystyle  lim _{x  to 0^+} 2x. ln(sinx)} = (*) $   Risolviamo il limite con de l'Hôpital $  displaystyle  lim _{x  to 0^+} 2x . ln(sinx) $ $  displaystyle  lim _{x  to 0^+}  frac {2ln(sinx)}{ frac {1}{x}}  $; forma del tipo  frac { infty }{ infty } Siamo nelle condizioni per applicare de l'Hôpital $  displaystyle  lim _{x  to 0^+}  frac {-2}{(sinx)( frac {1}{x^2})} =  displaystyle  lim _{x  to 0^+}  frac {-2x}{ frac {sinx}{x})} = 0 $   (*) $= e^0 = 1$

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