[Risolto] Studio di funzioni

Poiché
* p(x) = x^2 - x + 2 >= p(1/2) = 7/4 > 0
la funzione
* f(x) = y = ln(x^2 - x + 2)
è definita reale ovunque ed ha pendenza
* m(x) = (2*x - 1)/(x^2 - x + 2)
essendo monotòna ha minimo nel minimo dell'argomento
* f(1/2) = y = ln(7/4)
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Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3Dln%28x%5E2-x%2B2%29
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Per l'origine passano tutte e sole le rette:
* x = 0, l'asse y;
* r(m) ≡ y = m*x, per ogni pendenza m reale.
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L'asse y interseca f(x) solo in Y(0, ln(2))
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Le intersezioni fra f(x) ed r(m) dipendono da m: per m = 0, zero intersezioni.
Per m != 0 il sistema
* (y = m*x) & (y = ln(x^2 - x + 2))
ha una risolvente da trattare solo con metodi grafico-numerici
* x = ln(x^2 - x + 2)/m
e che non consente di dimostrare un gran che.
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Nel generico punto T(k, ln(k^2 - k + 2)) la pendenza è m(k) = (2*k - 1)/(k^2 - k + 2) e la retta tangente è
* t(k) ≡ y = ln(k^2 - k + 2) + ((2*k - 1)/(k^2 - k + 2))*(x - k)
che passa per l'origine se e solo se
* ln(k^2 - k + 2) + ((2*k - 1)/(k^2 - k + 2))*(0 - k) = 0 ≡
≡ ln(k^2 - k + 2) + (k - 2*k^2)/(k^2 - k + 2) = 0 ≡
≡ (k ~= 1.319842) oppure (k ~= 2.470047) ≡
≡ (m ~= 0.676956) oppure (m ~= 0.699704)
Vedi, se riesci a distinguere le due tangenti, al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D0.676956*x%2Cy%3D0.699704*x%2Cy%3Dln%28x%5E2-x%2B2%29%5Dx%3D0to4%2Cy%3D0to3
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Uffa!

a) per quello che serve nel seguito basta osservare che

f(x) = ln [ x^2 - x + 1/4 + 7/4 ] = ln [ (x - 1/2)^2 + 7/4 ]

e poiché il logaritmo naturale é strettamente crescente, il minimo assoluto corrisponde a quello dell'argomento che si ha per x = 1/2

per cui ym = ln [ 0 + 7/4 ] = ln 7/4

b) l'equazione della retta é y  = 2 x ln 7/4

Devi far vedere che ln (x^2 - x + 2) - 2x ln 7/4 = 0 non ha soluzioni oltre a x = 1/2

Puoi mostrarlo facendo vedere che la differenza scritta sopra é strettamente decrescente, con la derivata

Lascio i calcoli a te.

c) y = mx

Studia l'equazione    ln (x^2 - x + 2) - mx = 0

Qui potresti usare il teorema degli zeri e far vedere che comunque si scelga m

i limiti ai confini del dominio (-oo, +oo) hanno segno opposto. Questo é facile

perché nel limite all'infinito il logaritmo scompare essendo un infinito di ordine

inferiore e resta solo -mx che é dispari.