Studio delle soluzioni di un equazione per il parametro k

Possiamo usare la definizione a tratti del valore assoluto per semplificare l'equazione:

$\dfrac{x^2-2x}{|x|-3}=k$

$x^2-2x=k|x|-3k$

$y=x^2-2x-k|x|+3k=0$

$y=\begin{cases} x^2-2x-kx+3k\ se\ x\geq 0 \\ x^2-2x+kx +3k\ se\ x<0 \end{cases}$

Dato che siamo in cerca delle soluzioni positive, non ci interessa la possibilità di trovare eventuali valori $x<0$ per cui $y=0$, quindi analizziamo solo il primo caso:

$x^2-2x-kx+3k=0$

$x^2+(-2-k)x+3k=0$

$x=\dfrac{2+k \pm \sqrt{(2+k)^2-4 \cdot 1 \cdot 3k}}{2}= \dfrac{2+k \pm \sqrt{k^2-8k+4}}{2}$

L'equazione ha soluzioni distinte quando $\Delta >0$, cioè:

$(2+k)^2-4 \cdot 1 \cdot 3k >0 \implies k^2-8k+4>0 \implies k < 4 - 2\sqrt{3} \lor k > 4 + 2 \sqrt{3}$.

Se $\Delta =0$ otteniamo che $x=\dfrac{2+k}{2}$, che è positivo perché $k>0$ (perché $\Delta = 0$ se $k=4-2\sqrt{3} \approx 0.5359 \lor k=4+2\sqrt{3} \approx 7.4641$).

Sarebbe un problema perfetto per usare la regola di Cartesio, ma non voglio dare per scontato che tu la conosca, quindi ti propongo un ragionamento semplice da seguire.

Sapendo che il prodotto delle soluzioni ad un'equazione di secondo grado $ax^2+bx+c$ è $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ (puoi verificarlo calcolando il prodotto di due soluzioni come $\left (-\dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right )\cdot \left (-\dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right )$, che è una differenza di quadrati scomposta) possiamo notare che nel nostro caso avremmo $x_1 x_2 = \dfrac{3k}{1}=3k$. Se $3k>0$ le soluzioni sono concordi, se $3k<0$, le soluzioni sono discordi. Nel caso in cui $3k<0$ abbiamo certamente una soluzione positiva, se invece $3k>0$ potremmo avere anche due soluzioni negative.

Possiamo determinare il segno delle soluzioni concordi in base alla loro somma, che in un'equazione di secondo grado è $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ (puoi verificarlo analogamente a come abbiamo visto prima), nel nostro caso $x_1+x_2=-\dfrac{(-2-k)}{1}=2+k$. Se $3k>0 \land 2+k>0$, abbiamo certamente due soluzioni positive (perché le soluzioni sarebbero concordi, e se fossero negative la somma non potrebbe essere positiva), se $3k>0 \land 2+k<0$ non abbiamo alcuna soluzione positiva, ma in questo caso avremmo una contraddizione perché otterremmo $k>0 \land k<-2$ (comunque entrambi i casi presuppongono che $\Delta>0$).

Notiamo anche che se $3k=0$, almeno una soluzione è nulla, infatti l'equazione si trasforma in $x^2-2x=0 \implies x(x-2)=0 \implies x=0 \lor x =2$.

Ricapitolando, abbiamo 2 soluzioni positive per ogni $k$ che risolve il sistema:

$\begin{cases} 3k>0 \\ 2+k >0 \\ k \leq 4 - 2\sqrt{3} \lor k \geq 4 + 2 \sqrt{3} \end{cases}$

$\begin{cases} k>0 \\ k>-2 \\ k < 4 - 2\sqrt{3} \lor k > 4 + 2 \sqrt{3} \end{cases}$

Cioè per $0<k \leq 4-2\sqrt{3} \lor k \geq 4+2\sqrt{3}$.

Abbiamo solo una soluzione positiva per ogni $k$ che risolve il sistema:

$\begin{cases} 3k < 0 \\ k < 4 - 2\sqrt{3} \lor k > 4 + 2 \sqrt{3} \end{cases}$

$\begin{cases} k<0 \\ k < 4 - 2\sqrt{3} \lor k > 4 + 2 \sqrt{3} \end{cases}$

Cioè per $k<0$. Abbiamo solo una soluzione positiva anche nel caso in cui $k=0$, in realtà quindi la soluzione completa è $k \leq 0$.

Non abbiamo soluzioni positive se $\Delta <0$ (perché abbiamo già visto che entrambe le soluzioni non possono essere negative), cioè se $4-2\sqrt{3} < k < 4+2\sqrt{3}$.

In definitiva:

Non abbiamo nessuna soluzione positiva se $4-2\sqrt{3} < k < 4+2\sqrt{3}$, abbiamo una sola soluzione positiva se $k \leq 0$, mentre abbiamo due soluzioni positive (con eventuale molteplicità) se $0<k \leq 4-2\sqrt{3} \lor k \geq 4+2\sqrt{3}$.

Questo grafico illustra la risolvibilità di $y=0$ in $\mathbb{R}^+$ con degli esempi (in viola è disegnato il caso in cui $k=10$ e il caso in cui $k=\dfrac{1}{10}$, in verde il caso in cui $k=3$, mentre in rosso il caso in cui $k=-2$; in ogni rappresentazione ho incluso solo il grafico per $x \geq 0$ perché le soluzioni negative non sono di nostro interesse):