Nela figura sono rappresentati il grafico della funzione f(x) e la retta t, tangente nel punto A di ascissa 1 al grafico di f(x)

a.

Dal grafico si nota che la funzione f(x) ammette un asintoto orizzontale destro di equazione y = 1, per cui

$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = a \; ⇒ \; a = 1$

L'equazione f(x) si riduce alla forma

$ f(x) = \frac{x^2+bx+c}{x^2+x} $

a.1

Il grafico passa dal punto A(1, 1/2) per cui

A(1, f(1)) = A(1, 1/2)

$ f(1) = \frac{1}{2}$

$ \frac{1+b+c}{2}=\frac{1}{2} $

$ c = -b $

L'equazione f(x) si riduce alla forma

$ f(x) = \frac{x^2+bx-b}{x^2+x} $

a.2

La retta t: è tangente a f(x) in A 

La retta t: passante per B(3,0) e A(1, 1/2) ha equazione $ x+4y = 3 $ il suo coefficiente angolare vale

$ m = -\frac{1}{4} $

Determiniamo il valore della derivata prima di f(x) nel punto A, cioè f'(1)

$ f'(x) = \frac{(1-b)x^2+2bx+b}{x^2(x+1)^2} $ per cui

$ f'(1) = \frac{1-2b}{4}$

Per essere tangente la derivata prima della funzione calcolata nel punto di tangenza deve eguagliare il valore del coefficiente angolare

$ f'(1) = m$

$\frac{1-2b}{4} = -\frac{1}{4} \; ⇒ \; b = -1$

I valori dei tre parametri sono 

a = 1;  b = -1;   c = 1

$ f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x} $

b.

Per rispondere alla domanda occorre valutare i  valori di minimi e dei massimi relativi.

Determiniamo i punti stazionari

$ f'(x) = \frac{2x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2} $

$ f'(x) = 0 \; ⇒ \; 2x^2-2x-1 = 0 \; ⇒ \;$       due soluzioni

1. $x_1 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}  \; ⇒ \; f(x_1) = -3-2\sqrt{3} $   questo è il massimo relativo
2. $x_2 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}  \; ⇒ \; f(x_2) = -3+2\sqrt{3} $   questo è il minimo relativo

Possiamo così concludere

1. Nessuna soluzione per k compreso tra -3-2√3 e -3+2√3
2. Una soluzione semplice per k = 1 
3. Una soluzione con molteplicità pari a 2 per k = -3-2√3 e per k = -3+2√3
4. Due soluzioni per k compreso tra -3+2√3 e 1
5. Due soluzioni per k maggiore di 1
6. Due soluzioni per k minore di -3-2√3

La figura risultante è la seguente:

La funzione: y = (a·x^2 + b·x + c)/(x^2 + x)

è razionale fratta non definita nei punti x in cui si annulla il denominatore:

x^2 + x ≠ 0-----> x ≠ -1 ∧ x ≠ 0

In tali punti si hanno due asintoti verticali: x = -1 ed x = 0

La figura mostra un unico asintoto orizzontale di equazione: y = 1

Quindi deve essere a=1 in quanto è risaputo che per una funzione di questo tipo l'asintoto orizzontale è y = k con k rapporto fra i coefficienti di grado massimo che compaiono a numeratore e denominatore:

LIM((a·x^2 + b·x + c)/(x^2 + x))= a

x---> -∞

LIM((a·x^2 + b·x + c)/(x^2 + x))= a

x---> +∞

La figura mostra la funzione che interseca tale asintoto in un punto.

Determino retta t tangente alla funzione in A [1, 1/2] e passante per [3, 0]

(y - 1/2)/(x - 1) = (0 - 1/2)/(3 - 1)

(y - 1/2)/(x - 1) = - 1/4----> y = 3/4 - x/4 

Quindi m=-1/4

Quindi la f(x):

{passa per A

{ per x =1 y' =-1/4

Queste condizioni forniscono sistema:

{1/2 = (a·1^2 + b·1 + c)/(1^2 + 1)

{(1^2·(a - b) - 2·c·1 - c)/(1^2·(1 + 1)^2) = - 1/4

(la derivata vale: y' = (x^2·(a - b) - 2·c·x - c)/(x^2·(x + 1)^2)

Tenendo anche conto del risultato precedentemente ottenuto:

{a = 1

{a + b + c = 1

{a - b - 3·c = -1

che risolto fornisce: [a = 1 ∧ b = -1 ∧ c = 1]

Quindi la funzione e la sua derivata:

y = (x^2 - x + 1)/(x^2 + x)

y' = (2·x^2 - 2·x - 1)/(x^2·(x + 1)^2)

Imponendo le C.N. per i punti stazionari:

y' = 0 si ha:

(2·x^2 - 2·x - 1)/(x^2·(x + 1)^2) = 0

2·x^2 - 2·x - 1 = 0----> x = - (√3 - 1)/2 ∨ x = (√3 + 1)/2

Per x = - (√3 - 1)/2

si ha un massimo relativo per la funzione:

y = ((- (√3 - 1)/2)^2 + (√3 - 1)/2 + 1)/((- (√3 - 1)/2)^2  - (√3 - 1)/2)

y = - 2·√3 - 3

[- (√3 - 1)/2, - 2·√3 - 3] in corrispondenza del ramo centrale della funzione

per x = (√3 + 1)/2

si ha un punto di minimo relativo della funzione:

y = (((√3 + 1)/2)^2 - (√3 + 1)/2 + 1)/(((√3 + 1)/2)^2 + (√3 + 1)/2)

y = 2·√3 - 3

----------------------------------

f(x)=k

Per k=1  in corrispondenza di A

Per - 2·√3 - 3 < k < 2·√3 - 3 : nessuna intersezione

Per k = - 2·√3 - 3 ∨ k = 2·√3 - 3 : due intersezioni reali e coincidenti

Per 2·√3 - 3 < k < 1 ∨ k > 1 ∨ k < - 2·√3 - 3 : due intersezioni distinte

Prima parte

Per la parte b) traccia una retta orizzontale e confrontala col grafico