[Risolto] Stima degli errori, integrali.

L'errore per la formula di integrazione di Cavalieri-Simpson è:

$\epsilon \leq \frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(t) $

In questo caso $f(x)=x^3$ e dunque $f^{(4)}(x)=0$, per cui la formula è esatta, dato che l'errore risulta nullo.

Calcoliamo l'integrale esplicitamente usando la formula:

$\int_a^b f(x)\, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4 \sum_{\substack{i=1 \\ i \text{ dispari}}}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{\substack{i=2 \\ i \text{ pari}}}^{n-2} f(x_i) + f(x_n) \right]$

Nel nostro caso i nodi sono:

$x_0 = 0,\quad x_1 = \frac{1}{4},\quad x_2 = \frac{1}{2},\quad x_3 = \frac{3}{4},\quad x_4 = 1$

I valori della funzione:

$f(x_0) = 0^3 = 0$
$f(x_1) = \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}$
$f(x_2) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$
$f(x_3) = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$
$f(x_4) = 1^3 = 1$

Applichiamo la formula:

$\int_0^1 x^3 \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4(f(x_1) + f(x_3)) + 2f(x_2) + f(x_4) \right]$

E sostituendo i valori:

$= \frac{1/4}{3} \left[ 0 + 4\left( \frac{1}{64} + \frac{27}{64} \right) + 2 \cdot \frac{1}{8} + 1 \right] \\
= \frac{1}{12} \left[ \frac{112}{64} + \frac{1}{4} + 1 \right] \\
= \frac{1}{12} \left[ \frac{112 + 16 + 64}{64} \right] \\
= \frac{1}{12} \cdot \frac{192}{64} = \frac{1}{12} \cdot 3 = \frac{1}{4}$

che è il risultato esatto.