Sono date la circonferenza di equazione $x^2+(y-1)^2=1$ e la parabola di equazione $x^2-3 y=0$.
Una retta di equazione $y=k$, con $k \in \mathbb{R}$, interseca nel primo quadrante la circonferenza e la parabola, rispettivamente, nei punti $P$ e $Q$.
Determina $\lim _{P \rightarrow O} \frac{\overline{P Q}}{\overline{P O}}$, dove $O$ è l'origine degli assi.
$$
\left[\sqrt{\frac{3}{2}}-1\right]
$$
33
punti
Livello 0
Mettiamo a sistema y = k con x^2 + (y - 1)^2 = 1
x^2 + k^2 - 2k + 1 - 1 = 0
x^2 = 2k - k^2
x = + rad (2k - k^2) nel primo quadante con 0 <= k <= 2
e poi anche y = k con x^2 - 3 y = 0
x^2 = 3 k => x = + rad (3k) nel primo quadrante
Allora P(k) = ( rad(2k - k^2), k), Q(k) = (rad(3k), k) , O = (0,0)
con 0 <= k <= 2.
Quando P -> O, yP -> yO per cui k -> 0 e in particolare k -> 0+
PQ = | rad(2k - k^2) - rad(3k) |
PO = rad (2k - k^2 + k^2) = rad (2k)
Così
lim_P->O PQ/PO =
= lim_k->0 | rad(2k - k^2) - rad(3) rad(k) |/ (rad(2)*rad(k))
é una forma indeterminata del tipo "0/0"
dividendo per rad(k) entrambi i termini ( k -> 0 ma non é zero ! )
lim_k->0 | rad (2 - k) - rad(3) |/ rad(2) =
= lim_k->0 [ rad(3) - rad(2 - k) ]/rad(2) =
= (rad(3) - rad(2))/rad(2) =
= rad(3/2) - 1.
58342
punti
Livello 7
"interseca nel primo quadrante" ≡ (k > 0) & (xP > 0) & (xQ > 0)
Per y = k ∈ R
* (y = k) & (x^2 + (y - 1)^2 = 1) ≡ xP = ± √((2 - k)*k) > 0 ≡ 0 < k < 2
* (y = k) & (x^2 - 3*y = 0) ≡ xQ = ± √(3*k) > 0 ≡ k > 0
Per 0 < k < 2
* |PQ| = √((5 - (k + 2*√(6 - 3*k)))*k)
* |PO| = √(2*k)
* |PQ|/|PO| = √((5 - (k + 2*√(6 - 3*k)))/2)
* lim_(P → O) |PQ|/|PO| = lim_(k → 0) √((5 - (k + 2*√(6 - 3*k)))/2) =
= √((5 - (2*√6))/2) = √(5/2 - √6) = √(3/2) - 1
che è proprio il risultato atteso.
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DETTAGLI
Dall'equazione del radicale doppio
* √(x - √y) = √((x + √(x^2 - y))/2) - √((x - √(x^2 - y))/2)
con x = 5/2 e y = 6 si ha
* √(5/2 - √6) = √((5/2 + √((5/2)^2 - 6))/2) - √((5/2 - √((5/2)^2 - 6))/2) =
= √((5/2 + √(1/4))/2) - √((5/2 - √(1/4))/2) =
= √(3/2) - √1 =
= √(3/2) - 1
57798
punti
Genius I
