[Risolto] Sistemi letterali

Per questa soluzione userò il metodo di Cramer che avevo già spiegato in questa risposta.

$\begin{cases} ax+by = ab \\ bx + ay =ab \end{cases}$

$\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$

$D= a \cdot a - b \cdot b= a^2 - b^2$

$\begin{bmatrix} ab & b \\ ab & a \end{bmatrix}$

$D_x = ab \cdot a - ab \cdot b = a^2b- ab^2$

$\begin{bmatrix} a & ab \\ b & ab \end{bmatrix}$

$D_y= a \cdot ab - ab \cdot b = a^2b - a^2b$

Se il sistema è determinato $D = a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \neq 0 \implies a \neq \pm b$

a quel punto $x=\frac{D_x}{D} = \frac{a^2b-ab^2}{(a+b)(a-b)}= \frac{ab(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{ab}{a+b}$ e $y= \frac{D_y}{D} = \frac{ab(a-b)}{(a+b)(a-b)}= \frac{ab}{a+b}$.

Se $a=b$, sostituiamo nel sistema:

$\begin{cases} bx+by = b^2 \\ bx+by = b^2\end{cases}$

Le equazioni sono equivalenti, quindi il sistema è indeterminato.

Se $a=-b$, sostituiamo di nuovo nel sistema:

$\begin{cases} -bx +by = -b^2 \\ bx -by = -b^2 \end{cases}$ sommiamo le due equazioni membro a membro e otteniamo $0 = -2b^2 \implies b^2 =0$ se $b \neq 0$ il sistema è impossibile, se $b=0$ ricordiamo che $a=-b = 0 \cdot (-1)=0 \implies a=b$ che abbiamo già visto essere indeterminato.

Modifico la risposta per dire che si poteva verificare se il sistema è impossibile o indeterminato in modo più immediato usando $x \cdot D = D_x \land y \cdot D = D_y$, però non ci avevo pensato prima (l'ho fatto nelle altre risposte)._.