[Risolto] Sistemi letterali

Per questa soluzione userò il metodo di Cramer che avevo già spiegato in questa risposta.

$\begin{cases} \frac{1}{a}x + \frac{1}{a} y = \frac{2a}{a^2-1}= \frac{2a}{(a+1)(a-1)} \\ (a-1)x + (a-1)y = \frac{2a^2}{a+1} \end{cases}$

Poniamo le condizioni di esistenza $a \neq 0 \land a \neq \pm 1$, altrimenti il sistema perde di significato, ora procediamo con le matrici:

$\begin{bmatrix} \frac{1}{a} & \frac{1}{a} \\ a-1 & a-1 \end{bmatrix}$

$D= \frac{1}{a} \cdot (a-1) - \frac{1}{a} \cdot (a-1) = 0$

quindi il sistema è indeterminato o impossibile, facciamo qualche passaggio:

$\begin{cases} \frac{1}{a} (x+y) = \frac{2a}{a^2-1} \\ (a-1)(x+y)= \frac{2a^2}{a+1} \end{cases}$

$\begin{cases} x+y = \frac{2a^2}{a^2-1} \\ x+y = \frac{2a^2}{a^2-1} \end{cases}$

Vediamo che le equazioni sono equivalenti, quindi il sistema è indeterminato quando non perde di significato, quindi è indeterminato per $a \neq 0 \land a \neq \pm 1$, mentre perde di significato per $a = 0 \lor a = \pm 1$.

Modifico la risposta per dire che si poteva verificare se il sistema è impossibile o indeterminato in modo più immediato usando $x \cdot D = D_x \land y \cdot D = D_y$, però non ci avevo pensato prima (l'ho fatto nelle altre risposte)._.