SIstemi

$ \begin{cases} (a-1)x-ay = -1 \\ax+(1-a)y = 2a \end{cases} $

dalla prima ricaviamo $ y = \frac{(a-1)x+1}{a} $   con a ≠ 0

nota. Il caso a = 0 ⇒ x = 1 ∧ y = 0 che è una caso particolare della soluzione generale.

che sostituita nella seconda

$ ax+ (1-a)\frac{(a-1)x+1}{a} = 2a $

$ (2a-1)x = 2a^2+a-1 = (2a-1)(a+1) $

occorre considerare due casi

i)  Se 2a-1 = 0 cioè a = 1/2 allora il sistema diventa

$ \begin{cases} -\frac{x}{2} -\frac{y}{2} = -1 \\\frac{x}{2} +\frac{y}{2} = +1 \end{cases} $
la seconda equazione è la prima moltiplicata per (-1) quindi può essere eliminata. (Non da alcun contributo alla soluzione). Abbiamo così a che fare con una equazione con due incognite, il sistema è indeterminato.

ii)   Se a ≠ 1/2 allora possiamo semplificare

$ x = a+1 \; ⇒ \; y = \frac{(a+1)(a-1)}{a} = a $

La soluzione, in questo caso, del sistema è (a+1, a)

Con il Metodo di Cramer:

Se Δ ≠ 0, quindi se  a ≠ 1/2  il sistema è DETERMINATO ed ammette soluzione:

{x=Δx/Δ=(a + 1)·(2·a - 1)/(2·a - 1) = a + 1

{y=Δy/Δ = a·(2·a - 1)/(2·a - 1) = a

Se a = 1/2 il sistema è INDETERMINATO perché le incognite assumono la forma 0/0