Determina per quale valore di $k$ il seguente sistema è simmetrico, quindi risolvilo.
$$
\left\{\begin{array}{l}
k x-y=3 k \\
x^2+y^2=30+k
\end{array}\right.
$$
saluto e ringrazio
Determina per quale valore di $k$ il seguente sistema è simmetrico, quindi risolvilo.
$$
\left\{\begin{array}{l}
k x-y=3 k \\
x^2+y^2=30+k
\end{array}\right.
$$
saluto e ringrazio
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Livello 1
Thanks Stefano, EidosM e Luciano. Con il vs Help ho compreso bene il sistema simmetrico, anche in una variante come quella indicata dall'esercizio in questione. Per risolverlo, in effetti, mi trovo meglio con il metodo della sostituzione, piuttosto che quello dell'identità tra i termini quadratici e il quadrato di binomio, indicato dal testo che sto usando.
Il sistema é simmetrico solo se compare la combinazione x + y
quindi solo per k = -1
- x - y = -3 => x + y = 3
x^2 + y^2 = 30 - 1 = 29
ora x^2 + 2xy + y^2 = 9
x^2 + y^2 = 29
sottraendo 2xy = -20
xy = -10 e la risolvente é t^2 - 3t - 10 = 0
t^2 - 5t + 2t - 10 = 0
t(t-5) + 2(t-5) = 0
(t - 5)(t + 2) = 0
t = 5 V t = -2
da qui sai continuare
x = 5 e y = -2 o x = -2 e y = 5
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Livello 7
@eidosm grazie EidosM, me lo riporto e lo studio più tardi... buona serata
Sistema simmetrico: si può riportare ad esso riportando il sistema al tipo
SOMMA- SOMMA DEI QUADRATI
Ciò è possibile ponendo k=-1
{k·x - y = 3·k
{x^2 + y^2 = 30 + k
per k=-1
{-x - y = -3 -----> {x + y = 3
............................{x^2 + y^2 = 29
per sostituzione:
y=3-x---> x^2 + (3 - x)^2 = 29
risolvo ed ottengo: x = 5 ∨ x = -2
x=5-----> y =3-5=-2 -----> (5,-2)
x=-2------> y=3+2=5------> (-2,5)
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Genius III
@lucianop grazie Luciano, gli ho dato un'occhiata veloce, me lo studio più tardi, non mi è ancora chiaro come riconoscere immediatamente il sistema simmetrico, buona serata
Il sistema è simmetrico se scambiando tra loro le incognite le equazioni restano invariate. Quindi nessuna condizione per l'equazione contenente i termini quadratici.
Imponendo la condizione nella prima equazione :
Kx - y = ky - x
K(x-y) = - (x-y)
K= - 1
Determino quindi le intersezioni tra la circonferenza di centro O e raggio R =radice (29) e la retta x+y=3
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Genius II
@stefanopescetto grazie Stefano, se ho capito bene, si intendono valori opposti, comunque me lo studio dopo... buona serata