Seno e coseno

Peccato che si legga poco: soprattutto le risposte.

La prima cosa che devi fare è sapere il quadrante in cui operi.

SIN(α) - 2/SIN(α) + 2/TAN(α)

che devi trasformare solo in funzione del coseno. Operi nel 4° quadrante:

3/2·pi < x < 2·pi in cui risulta:

SENO <0

COSENO >0

TANGENTE <0

La seconda:

(1 + SIN(α)^2)/TAN(α)^2 + 1 - COS(α)^2 + 4/SIN(α)^2

la devi trasformare solo in funzione del seno. Operi nel 1° quadrante:

0 < x < pi/2 in cui risulta:

SENO >0

COSENO >0

TANGENTE >0

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Faccio il secondo visto che @danskiJ ha già svolto molto bene il primo.

(1 + SIN(α)^2)/TAN(α)^2 + 1 - COS(α)^2 + 4/SIN(α)^2

Per non appesantire la scrittura utilizzo le posizioni:

Υ = SIN(α)

Χ = COS(α)

Υ/Χ = TAN(α)

quindi:

(1 + Υ^2)/(Υ/Χ)^2 + 1 - Χ^2 + 4/Υ^2

semplifico in un unica frazione algebrica:

(Υ^2 + Χ^2 + 4)/Υ^2=

=(Υ^2 + 1 - Υ^2 + 4)/Υ^2=

=5/Υ^2 = 5/SIN(x)^2

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1° esercizio

SIN(α) - 2/SIN(α) + 2/TAN(α)

pongo:

SIN(α) = Υ

COS(α) = Χ

TAN(α) = Υ/X

Υ - 2/Υ + 2/(Υ/Χ)=

=Υ - 2/Υ + 2·Χ/Υ=

=(Υ^2 + 2·(Χ - 1))/Υ=

4° quadrante (3/2·pi < α < 2·pi )

Υ = - √(1 - Χ^2)  (seno negativo)

Υ^2 = 1 - Χ^2

quindi:

=(1 - Χ^2 + 2·(Χ - 1))/(- √(1 - Χ^2))=

=(- Χ^2 + 2·Χ - 1)/(- √(1 - Χ^2))=

=- (Χ^2 - 2·Χ + 1)/(- √(1 - Χ^2))=

=- (Χ - 1)^2/(- √(1 - Χ^2))=

=(COS(x) - 1)^2/√(1 - COS(x)^2)

Il punto di partenza sono le due relazioni fondamentali:

• $\tan \alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ per $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
• $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \implies \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \implies |\sin\alpha| = \sqrt{1-\cos^2\alpha}$.   In questa seconda bisogna tenere conto del valore dell'angolo per capire il segno da dare alla radice quando si toglie il modulo. Per angoli nel primo e nel secondo quadrante vale $\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha}$ poiché in tali quadranti il seno è positivo, mentre per angoli nel terzo e nel quarto il seno è negativo e dunque $\sin\alpha = - \sqrt{1-\cos^2\alpha}$.

Svolgo il 205, ma non sembra diverso dal 207.

Per noi, il testo dice che dobbiamo partire da

$$\sin\alpha - \frac{2}{\sin\alpha} + \frac{2}{\tan\alpha}$$

e ottenere un'espressione che contenga solo il coseno.

Iniziamo ad applicare quanto visto prima:

$$\sin\alpha - \frac{2}{\sin\alpha} + \frac{2}{\tan\alpha} = \sin\alpha - \frac{2}{\sin\alpha} + \frac{2\cos\alpha}{\sin\alpha} =$$

$$\frac{\sin^2\alpha - 2 + 2\cos\alpha}{\sin\alpha}=$$

$$\frac{1 - \cos^2\alpha - 2 + 2\cos\alpha}{\sin\alpha} =$$

$$\frac{- \cos^2\alpha - 1 + 2\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{-(\cos\alpha - 1)^2}{\sin\alpha}.$$

Qui sopra ho sostituito $\tan\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha$, fatto un minimo comune multiplo, sostituito $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, mentre all'ultimo passaggio ho raccolto un segno $-$ a fattor comune e scomposto il quadrato di un binomio.

Adesso consideriamo che l'esercizio 205 ci dice che $\alpha$ è compreso fra $3\pi/2$ e $2\pi$, dunque è nel quarto quadrante, per sostituire nel denominatore $\sin\alpha = - \sqrt{1-\cos^2\alpha}$:

$$\frac{-(\cos\alpha - 1)^2}{\sin\alpha} = \frac{-(\cos\alpha - 1)^2}{- \sqrt{1-\cos^2\alpha}}.$$

Semplificando i segni:

$$\sin\alpha - \frac{2}{\sin\alpha} + \frac{2}{\tan\alpha}=\frac{(\cos\alpha - 1)^2}{ \sqrt{1-\cos^2\alpha}}.$$

Non leggo bene il risultato del libro, quindi non posso essere sicuro dei conti. Il procedimento però è quello.

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Leggo che l'esercizio 207 richiede di ottenere tutto in funzione del seno. Ha senso ricordare che dalla relazione $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ si ottiene anche $|\cos\alpha| = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$. Il ragionamento per togliere il modulo è

• Primo e quarto quadrante: coseno positivo $\implies \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$;
• Secondo e terzo quadrante: coseno negativo $\implies \cos\alpha = - \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$.

198

tan α = √15

si pongono :

# sen α = a

# cos α = b 

a^2+b^2 = 1 

a^2 = 1-b^2

a^2/b^2 = (1-b^2)/b^2 = 15

1-b^2 = 15b^2

1 = 16b^2

b = √1/16 = 1/4 = cos α

a = √1-(1/4)^2 = √(15/16)  = √15 /4 = sen α

angolo α = arccos 1/4 = 75,5°

la foto è sbiadita, non si legge bene.

Considera che tan α = senα / cosα;

sen^2(α) + cos^2(α) = 1;

sen^2(α) = 1 - cos^2(α).

199

tan α = -3/-4

si pongono :

# sen α = a

# cos α = b

a^2+b^2 = 1

a^2 = 1-b^2

a^2/b^2 = (1-b^2)/b^2 = -3/-4

-4+4b^2 = -3b^2

4 = 7b^2

b = √(4/7) = cos α

a = √1-(√(4/7))^2 = √(3/7) = sen α

angolo α = π+arcsen √(3/7)= 220,9°