Radicali. Difficoltà nei quadrati.

C.E.

Per i radicali di indice pari devi sempre considerare la NON negatività del radicando. Per radicali di indice dispari devi assicurare la realtà del radicando.

x^3 - 2·x^2 ≥ 0---> x^2·(x - 2) ≥ 0

Hai il prodotto di due fattori e la disequazione è attenuata: quindi devi considerare anche le radici dell'equazione associata (quindi x= 0 ed x=2)

Detto ciò, per la regola dei segni devi considerare il secondo fattore, visto che il primo non può essere negativo, deve risultare x ≥ 2 per soddisfare la disequazione proposta. Tenendo conto di quanto detto prima, la soluzione di tutta la disequazione è: x = 0 ∨ x ≥ 2

x^3 - 4·x^2 + 4·x ≥ 0---> x·(x - 2)^2 ≥ 0

Vale quanto detto sopra: x ≥ 0 perché il secondo fattore è non negativo e quindi il segno è dettato dal primo fattore. Inoltre x=2 è conglobato nella soluzione proposta in quanto maggiore di x=0

Un esercizio per volta.

L'argomento della radice quadrata (il radicando), deve essere sempre maggiore di 0, o anche uguale a 0.

Sotto radice quadrata non ci deve stare un numero negativo.

119) x^3 - 2x^2  ≥ 0 ;

x^2(x - 2)  ≥ 0 ; il prodotto deve essere positivo;

x^2  ≥ 0 ; x  ≥ 0 ;

x - 2  ≥ 0 ; x  ≥ + 2;  x deve essere maggiore o uguale a + 2.

x^3 - 4x^2 + 4x  ≥ 0 ;

x * (x^2 - 4x + 4)  ≥ 0 ;

x  ≥ 0 ;

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2  ≥ 0 ; x  ≥ 2;

x deve essere maggiore o uguale a + 2.

128) 1 / [radicecubica(x^2 - 4)];

il denominatore non si deve annullare, non deve essere 0;

il radicando della radice cubica può essere anche  negativo.

x^2 - 4  ≠  0;

x^2 = 4,

x = + - 2; il denominatore si annulla, allora bisogna escludere +2 e -2 ;

x ≠ +2  ; x  ≠ - 2;

radicequadrata(x^4 - 4 x^3); Sotto radice quadrata non ci deve stare un numero negativo.

x^3 (x - 4) ≥ 0; i due fattori devono avere lo stesso segno positivo o negativo;

x ≥ 0;

x - 4 ≥ 0;

x ≥ + 4; per x ≥ + 4; i due fattori hanno entrambi segno positivo, il prodotto è positivo.

Oppure, fattori negativi: 

x ≤ 0;

x - 4 ≤  0;  x ≤  4;  quindi x ≤ 0;

per x ≤ 0, i due fattori hanno entrambi segno negativo, il prodotto è positivo.

x ≥ + 4 ; x ≤ 0; campo di esistenza.

@pavone ciao.

Un solo esercizio per domanda. E' il regolamento.

Risolverò il 128 

a.   $\sqrt[3]{\frac{1}{x^2-4}} $

1. La radice cubica è definita per ogni valore reale di x, nessun vincolo al C.E.
2. Il rapporto è definito solo per denominatore diverso da zero

$ x^2-1 \ne 0 \; ⇒ x \ne \pm 2$

C.E. x ≠ ±2

b.    $ \sqrt{x^4-4x^3} = \sqrt{x^3(x-4)} $

• La radice quadrata è definita per radicandi maggiori o eguale a 0.
• Ne consegue che i due fattori x³ e (x-4) dovranno avere segno concorde o nullo.

1. Per x ≥ 0  e  x- 4 ≥ 0 avremo x ≥ 0  e  x ≥ 4 ovvero x ≥ 4
2. Per x ≤ 0  e  x- 4 ≤ 0 avremo x ≤ 0  e  x ≤ 4 ovvero x ≤ 0 

C.E. x ≤ 0  oppure x ≥ 4