Consigliato a studenti che hanno già dato Analisi I e a qualche studente del quinto anno di liceo scientifico.
Sia $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ una funzione continua e differenziabile, con $f(0)=0$. Dimostrare che $\sup_{x \in [0,1]} |f(x)| \leq (\int_0^1 (f'(x))^2 dx)^{\frac{1}{2}}$.
6218
punti
Livello 6
Nota: almeno nella mia risoluzione, ho utilizzato la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz (non è nel programma tradizionale di un liceo scientifico), quindi è bene conoscerla. La difficoltà del quesito è medio-alta per gli universitari (il riferimento è il primo anno del corso di laurea in Matematica) e molto alta per liceali (non mi sembra risolvibile tramite il classico programma di un liceo scientifico e richiede alcune nozioni sulle norme, è consigliato principalmente a persone che hanno integrato il programma delle superiori con argomenti universitari per conto proprio).
Ho ancora alcuni quesiti di analisi da proporre come anti-noia, dopo questi forse posterò qualche quesito interessante sulla geometria analitica o l'algebra lineare. Saranno sempre risolvibili con conoscenze liceali e del primo anno di corsi STEM, in modo da essere adatti a buona parte degli helpers. Fatemi sapere come regolare la difficoltà per mantenerli stimolanti, ma fattibili in quindici minuti/mezz'ora 🙂 .
Non é alla portata di uno studente di quinta
f(x) - f(0) = S_[0,x] f'(t) dt
|f(x)| = | S_[0,x] f'(t) dt | <= S_[0,x] |f'(t)| dt <=
<= (S_[0,x] 1^2 dt)^(1/2) * (S_[0,x] |f'(t)|^2 dt )^(1/2) =
[] disuguaglianza di Cauchy - Schwartz []
= x^(1/2) * (S_[0,x] |f'(t)|^2 dt)^(1/2) <=
<= 1^(1/2) (S_[0,1] |f'(t)|^" dt)^(1/2) = (S_[0,1] |f'(t)|^2 dt)^(1/2)
essendo 0 < x < 1
58339
punti
Livello 7
@eidosm Sì, errore mio, non mi ha più fatto modificare la domanda, ho specificato successivamente nella nota il target adatto visto che alla fine erano necessari solo un paio di argomenti in più fuori dal programma 🙂 .
