Punti stazionari con parametro.

$ y(x) = x+\frac{4}{x}-k \cdot ln|x|)$

• Dominio = (-∞, 0) U (0, +∞)

$ y'(x) = \frac{x^2-kx-4}{x^2}$

y"$(x) = \frac{kx+8}{x^3}$

• Punti estremanti

$ y'(x) = 0$ 

$ x^2 - kx-4 = 0 $ 

che ammette due soluzioni

1. $ x_1 = \frac{1}{2}(k - \sqrt{k^2+16}) $
2. $ x_2 = \frac{1}{2}(k + \sqrt{k^2+16}) $

dobbiamo dimostrare che trattasi di un minimo e di un massimo.

Possiamo operare con Weirestrass generalizzato dopo aver determinato i 4 limiti alla frontiera, oppure tramite il segno della derivata seconda. Scegliamo quest'ultimo modo di procedere.

Dico che il numeratore della derivata seconda è positivo per entrambi i punti estremanti quindi il segno della derivata seconda dipende esclusivamente dal denominatore. In particolare.

1. Se x < 0 allora y"(x) < 0 quindi il punto estremante è un massimo
2. Se x > 0 allora y"(x) > 0 quindi il punto estremante è un minimo

Resta da verificare che il numeratore è positivo.

Scegliamo il peggiore dei casi, quello dove compare un termine negativo nell'espressione, cioè

⊳ Numeratore y"(x) = kx + 8

⊳ Numeratore y"(x) = k[1/2(k-√(k^2+16)]+ 8 > 0

⊳ Numeratore y"(x) = k^2 -k√(k^2+16)+ 16 > 0

Vera, per ogni valore di k.

Pensavo fosse più semplice. Forse meglio Weirestrass.

Dopo aver determinato, per x < 0, che i due limiti per x→-∞ e per x→0⁻ divergono entrambi a -∞, e dopo aver osservato che la funzione è continua e derivabile, allora per Weirestrass ci deve essere almeno un punto di massimo. Avendo un solo punto stazionario allora quello non può che essere un massimo.

Analogamente si procede con il minimo per x > 0.