Punti di NON derivabilità

$ f(x) = e^x \sqrt{2-x} $

• Dominio = (-∞, 2]
  • La funzione è continua laddove definita e derivabile in (-∞, 2) essendo prodotto di funzioni derivabili. Rimane da valutare il punto x = 2.

Osserviamo che il fattore e^x non genera alcun problema quindi possiamo concentrare la nostra attenzione sul secondo fattore e applicare la definizione di derivata sinistra per x = 2.

• Derivata sinistra in x = 2

$ f'^-(x) ≝ \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac {\sqrt{2-(x+h)} - \sqrt{2-x}} {h} $

razionalizziamo il numeratore

$ f'^-(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac {2-x-h -2+x}{h [\sqrt{2-(x+h)} + \sqrt{2-x}]} $

$ f'^-(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac {-h}{h [\sqrt{2-(x+h)} + \sqrt{2-x}]} $

$ f'^-(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac {-1}{[\sqrt{2-(x+h)} + \sqrt{2-x}]} $ 

per x = 2

$ f'^-(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac {-1}{[\sqrt{2-(2+h)} + \sqrt{2-2}]} $

$ f'^-(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac {-1}{\sqrt{-h)}}  = -\infty $

Quindi il punto non ammette derivata ovvero è un punto a tangente verticale.

Un 'alternativa all'uso della definizione è quella di notare che la funzione derivata è continua e quindi di determinare il limite per x→2⁻ che risulta essere -∞.