Considera la parabola di equazione $y=a x^2+2 x$.
a. Determina $a$ in modo che sia concava e che l'area del segmento parabolico limitato da essa e dalla bisettrice del primo e del terzo quadrante sia $\frac{1}{6}$.
b. In corrispondenza del valore di $a$ trovato, determina la corda del segmento parabolico parallela all'asse $x$ di lunghezza massima.
$\left[\right.$ a. $a=-1$; b.la corda individuata dalla retta di equazione $\left.y=\frac{3}{4}\right]$
Spiegare e argomentare.
11881
punti
Livello 2
a.
$ y = ax^2+2x $ parabola concava implica a < 0
$ \begin{cases} y = ax^2+2x \\ y = x \end{cases} $
Le due soluzioni sono:
$ \int_0^{-\frac{1}{a}} ax^2+2x - x \, dx = \frac{1}{6} $
$ \int_0^{-\frac{1}{a}} ax^2+ x \, dx = \frac{1}{6} $
$\left. \frac{a}{3} x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right|_0^{-\frac{1}{a}} = \frac{1}{6}$
$ -\frac{1}{3a^2} + \frac{1}{2a^2} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{6a^2} = \frac{1}{6}$
$ a^2 = 1 $ essendo la parabola concava
$ a = -1 $
b.
Determiniamo l'area tra la parabola $ y = -x^2+2x $ e la retta parallela all'asse delle x di equazione $y = k$
Punti di intersezione parabola/retta
$ \begin{cases} y = -x^2+2x \\ y = k \end{cases} $
Le due soluzioni sono:
$ A = \frac{1}{6} |a| (x_B - x_A)^3 = \frac{1}{6} $
$ [2\sqrt{1-k}]^3 = 1 $
$ 2\sqrt{1-k} = 1 $
$ \sqrt{1-k} = \frac{1}{2} $
$ 1-k = \frac{1}{4} $
$ k = \frac{3}{4} $
La retta ha equazione $y = \frac{3}{4} $
21742
punti
Livello 6
