Problemi su parabola

La formula generale della parabola avente asse di simmetria parallelo all'asse delle y è data dalla forma:

$ y = ax^2+bx+c $

Invece di impostare un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b, c, risolveremo ogni equazione separatamente riducendo così la forma

1. 

$ -\frac{b}{2a} = x_v = 0  \quad ⇒ \; b = 0 $

La forma si riduce nella $ y = ax^2+c$

2. 

$ -\frac{Δ}{4a} = y_v = -1 \quad ⇒ \; b^2-4ac = 4a \quad ⇒ \; -4ac = 4a \quad ⇒ \; c = -1 $

Abbiamo sfruttato il risultato precedente cioè b = 0

La forma si riduce nella $ y = ax^2-1$

3. Passa per il punto P(1, 2)

Questo significa che le coordinate di P soddisfano l'equazione

$ 2 = a \cdot 1^2-1 \quad ⇒ \; a = 3 $

La forma definitiva è così

$y = 3x^2 - 1$ 

uno alla volta!

3) y = ax^2 + bx + c ;

F (x; y) = ([1 - (b^2 - 4ac)] / 4a;  - b/2a); fuoco F;

V (x; y) = [-(b^2 - 4ac)/4a; - b/2a] ; vertice V;

F(1; 3); fuoco;

V(4; 3); vertice;

y del fuoco = y del vertice; quindi l'asse di simmetria è parallelo all'asse x;

asse di simmetria : y = - b/2a; parallelo all'asse x;

y = 3;

- b / 2a = 3;      (1)    y del vertice V e del fuoco F;

[1 - (b^2 - 4ac)] / 4a = 1;  (2)     (x del fuoco F)

(4ac - b^2)/4a = 4;  (3) (x del vertice V);

b = - 3 * 2a;  (1)

1 - b^2 + 4ac = 1 * 4a;  (2)

4ac - b^2 = 4 * 4a;  (3)

b = - 6a;  (1) 

- (b^2 - 4ac) + 1 = 4a;  (2)

4ac - b^2 = 4a - 1;  (2)  ;  sostituiamo nella (3)

4ac - b^2 = 16a;  (3)

4a - 1 = 16a;  (3)

16a - 4a = - 1;  (3)

12a = - 1;

a = - 1/12;

b = - 6 * ( - 1/12) = + 1/2;

4ac - b^2 = 16a;  (3)

4ac = 16a + b^2;  (3)

c = (16a + b^2)/4a;

c = [16 * (- 1/12) + (1/2)^2 ] /[4 * (- 1/12)];

c = [ - 4/3 + 1/4] /(- 1/3) = [- 16/12 + 3/12] /(- 1/3);

c =  - 13/12 * (- 3/1) = + 13/4

Parabola:

y = - 1/12 x^2  + 1/2 x + 13/4.

ciao @annarita6790