Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Sino al punto a)
A [-a, 0]
B [a, 0]
Quindi scriviamo il rapporto richiesto: PA/PB=k
√((x + a)^2 + y^2)/√((x - a)^2 + y^2) = k
con:
a > 0 e k > 0
Risistemiamo tale rapporto:
√((x + a)^2 + y^2) = k·√((x - a)^2 + y^2)
elevando al quadrato entrambi i due membri otteniamo:
x^2 + 2·a·x + y^2 + a^2 - (k^2·x^2 - 2·a·k^2·x + (k^2·y^2 + a^2·k^2)) = 0
x^2·(1 - k^2) + y^2·(1 - k^2) + a·x·(2·k^2 + 2) + a^2·(1 - k^2) = 0
per k=1 si ottiene:
x^2·(1 - 1^2) + y^2·(1 - 1^2) + a·x·(2·1^2 + 2) + a^2·(1 - 1^2) = 0
4·a·x = 0----> x = 0
Quindi l'asse del segmento AB di partenza
Per k ≠ 1 possiamo scrivere:
x^2 + y^2 + 2·a·x·(k^2 + 1)/(1 - k^2) + a^2 = 0
Quindi riconosciamo l'equazione di un fascio di circonferenze di centro e raggio dipendenti da k:
[a·(k^2 + 1)/(k^2 - 1), 0] centro
e raggio:
r = √(α^2 + β^2 - c)
r = √((a·(k^2 + 1)/(k^2 - 1))^2 + 0^2 - a^2)
r = √(4·a^2·k^2/(k^2 - 1)^2)
r = 2·(a·k)/ABS(k^2 - 1)
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Genius III