Si deve progettare una vasca a forma di parallelepipedo rettangolo a base quadrata della capacità di $64 m ^3$, da rivestire di piombo. Determina il lato di base $x$ affinché sia minima la quantità di piombo utilizzata (trascurando lo spessore delle pareti).
$$
[x=4 \cdot \sqrt[3]{2}]
$$
V=x・ｙ・ｈ 64=x^2・h x= √64/h
Aria da rivestire da piombo è
2x^2+3xh e dopo che calcolo dovrei fare?
500
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Livello 2
L'area da rivestire di piombo é l'area di base inferiore + l'area laterale
h = 64/x^2
Sl = Pb * h = 4x * 64/x^2 = 256/x
S = x^2 + 256/x
S' = 2x - 256/x^2 >= 0
condizione di crescenza
(2x^3 - 256)/x^2 >= 0
x^3 >= 128
x >= 2^(7/3) = rad_3 (2^7) = 4 rad_3 (2)m
e abbiamo identificato un minimo relativo.
Constatato che S ->+oo sia per x->0+ che per x->+oo
concludiamo che il minimo trovato é assoluto.
58353
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Livello 7
@eidosm Grazie mille ！L'ho capito bene !!!!
Questa è un'altra istanza del solito problema che già t'ho risolto due volte (settori circolari di area data e minimo perimetro) di localizzare il vertice di un grafico concavo: qui è dato il volume e c'è da minimizzare un'area.
Ti si dà da minimizzare una funzione di due variabili con una relazione fra le due che ti consente di esprimere una in funzione dell'altra e quindi di esprimere la relazione minimizzanda in una sola variabile: il vertice del suo grafico è il punto di tangenza con una parallela all'asse della variabile. Ne puoi calcolare l'ascissa come lo zero della derivata prima in cui la derivata seconda è positiva. A volte conviene un metodo, a volte l'altro.
VENGO ALL'ESERCIZIO
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Misure in m, m^2, m^3.
* volume V = h*x^2 = 64 ≡ h = (8/x)^2
* area y = x^2 + 4*h*x = x^2 + 256/x
* dy/dx = 2*x - 256/x^2 = 0 ≡ x^3 = 256/2 = 2^7 ≡ x = 2^(7/3) = (2^2)*2^(1/3)
57798
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Genius I
