Considera una generica retta passante per P(3,4), di coefficiente angolare negativo, e indica con $A$ e $B$, rispettivamente, i suoi punti di intersezione con l'asse $x$ e con l'asse $y$. Determina l'equazione della retta in corrispondenza della quale è minima la somma dell'ascissa di $A$ con l'ordinata di $B$.
$$
\left[y=-\frac{2 \sqrt{3}}{3} x+4+2 \sqrt{3}\right]
$$
4
punti
Livello 0
500
punti
Livello 1
La generica congiungente r di A(a, 0) con B(0, b), con a > 0 e b > 0, è
* r ≡ x/a + y/b = 1
che passa per P(3, 4) se e solo se
* (3/a + 4/b = 1) & (a > 0) & (b > 0) ≡ (a = 3*b/(b - 4)) & (b > 4)
da cui
* r ≡ (x/(3*b/(b - 4)) + y/b = 1) & (b > 4) ≡ y = b - ((b - 4)/3)*x
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Si deriva la somma da minimizzare
* s(b) = a + b = b*(b - 1)/(b - 4)
* s'(b) = 1 - 12/(b - 4)^2
* s''(b) = 24/(b - 4)^3
e si applica la condizione di minimo
* (s'(b) = 0) & (s''(b) > 0) ≡
≡ (1 - 12/(b - 4)^2 = 0) & (24/(b - 4)^3 > 0) ≡
≡ b = 2*(2 + √3) ~= 7.46 > 5
da cui
* r ≡ y = 2*(2 + √3) - ((2*(2 + √3) - 4)/3)*x ≡
≡ y = 2*(2 + √3) - (2/√3)*x
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28x*y%3D0%29%26%28y%3D2*%282%2B%E2%88%9A3%29-%282%2F%E2%88%9A3%29*x%29
57798
punti
Genius I
