[Risolto] Problemi di geometria su circonferenza e cerchio

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APB è un triangolo rettangolo in P poiché inscritto in una semicirconferenza. L'ipotenusa del triangolo rettangolo è il diametro della circonferenza circoscritta.

Angolo (PBA) = 90 - alfa

Angolo (AOP) = 2* Angolo (PBA) = 180 - 2*(alfa)

(in quanto angolo al centro doppio del corrispondente angolo alla circonferenza) 

Sappiamo che anche il triangolo OPQ è rettangolo in P poiché il raggio vettore è perpendicolare alla retta tangente la circonferenza nel punto di tangenza. 

Essendo l'angolo(POQ) = 2*alfa (angolo al centro di ampiezza doppia rispetto al corrispondente angolo alla circonferenza PAO) , l'angolo PQO è il suo complementare ed ha quindi ampiezza (90-2*alfa) 

Quindi: Angolo(PQO) = 90-2* (alfa) 

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Un solo ex. per volta specificando quali siano le difficoltà.

basta notare che i triangoli AOP e BOP sono isosceli e rammentare che :

# la somma degli angoli interni di ogni triangolo ed un angolo piatto valgono entrambi 180°

# la tangente forma con il raggio incidente un angolo retto 

semip. p = 14/2 = 7

area A = √7*1*2*4 = 2√14 

raggio r = 2√14 /7 cm 

si applica il teorema di F. Viete (aka teorema del coseno per trovare l'angolo C 

36 = 3^2+5^2-2*3*5*cos C

cos C = -1/15

C/2 = (arccos  (-1/15))/2 = 46,911 

tan C/2 = 1,0690

CF = CG = 2√14 /(7*1,0690) = 1,000 cm 

AE = AG = AC-CG = 3-1,000 = 2,000 cm 

BE = BF = BC-CF = 5-1,000 = 4,000 cm 

semip. p = (9+7+5)/2 = 10,5

area A = √10,5*1,5*3,5*5,5 = 17,4123
 

raggio r = 17,4123 /10,5 = 1,6583 cm 

si applica il teorema di F. Viete (aka teorema del coseno per trovare i tre angoli A,B e C 

81 = 7^2+5^2-2*7*5*cos C

cos C = -1/10

C/2 = (arccos  (-1/10))/2 = 47,8696

tan C/2 = 1,1055

CF = CG = 1,6583/1,1055 = 1,500 cm 

AE = AG = AC-CG  = 7-1,5 = 5,5 cm 

BE = BF = AB-AE = 5-1,5 = 3,5 m  cm