problemi con funzioni

Il grafico 

https://www.desmos.com/calculator/crmjsbvttx

$y = ln \frac{ax^3}{bx^2+c} $      con a ≠ 0

i) Asintoto verticale per x = √3

questo significa che l'argomento del logaritmo o tende a 0⁺ o tende a +∞.

1. tende a 0⁺  ⇒  $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y(x) = 0^+ \; ⇒ \; a = 0$ da scartare cozza con l'ipotesi a ≠ 0.

2. tende a +∞  ⇒  $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y(x) = +∞ \; ⇒ \; 3b+c \to 0 \; ⇒ \;   c = -3b$

La funzione si riduce alla forma $ y = ln \frac{ax^3}{bx^2-3} $  

ii) Possiede un minimo locale in P(3, ln (9/2))

questo significa che la funzione passa per P, inoltre P è un punto stazionario

1. Passa per P(3, ln (9/2))   ⇒  $ ln \left(\frac{9}{2}\right) =  ln \left(\frac{27a}{6b}\right) $ 

$ \frac{9}{2} = \frac{27a}{6b} \; ⇒ \; a = b$

La funzione si riduce alla forma $ y = ln \frac{ax^3}{ax^2-3} $   

2. P(3, ln (9/2)) è un punto stazionario

$ y'(x) = \frac{9-ax^2}{3x-ax^3} $  per cui

$ y'(3) = 0 \; ⇒ \; 1 - a = 0 $

Possiamo così concludere che

a = 1;   b = 1;   c = -3

La funzione ha la forma $ y = ln \frac{x^3}{x^2-3} $

nota: per ragioni di completezza rimane da verificare che in P si ha un minimo relativo; lascio a te il compito.

Foto dritta!!!

y = LN(a·x^3/(b·x^2 + c))   con a ≠ 0

y' = (b·x^2 + 3·c)/(x·(b·x^2 + c))

Consideriamo il sistema:

{passa per [3, LN(9/2)]

{y'=0  per x=3

Quindi:

{LN(9/2) = LN(a·3^3/(b·3^2 + c))----> 9/2 = 27·a/(9·b + c)

{(b·3^2 + 3·c)/(3·(b·3^2 + c)) = 0---> 9·b + 3·c = 0

Risolvo il sistema ed ottengo:

a = - c/3 ∧ b = - c/3 ∧ b ≠ -c/9

Quindi per c ≠ 0

y = LN((- c/3)·x^3/((- c/3)·x^2 + c))

y = LN(x^3/(x^2 - 3))

C.E.

x^3/(x^2 - 3) > 0----> - √3 < x < 0 ∨ x > √3

y' = (x^2 - 9)/(x·(x^2 - 3))

y'=0 per x=3