problema sulla parabola

@marcogiletti

Supponiamo che le parabole da trovare siano ad asse verticale

1^ informazione: a. Y1 e Y2 sono simmetriche rispetto al punto P (2,1);

γ1------> y = a·x^2 + b·x + c

La parabola simmetrica ad essa rispetto al punto P(2,1) si ottiene tramite sostituzioni:

x-------> 2·2 - x = 4-x

y-------> 1·2 - y = 2 - y

Quindi:

γ2-------> 2 - y = a·(4 - x)^2 + b·(4 - x) + c

Quindi: γ2: y = - a·x^2 + x·(8·a + b) - 16·a - 4·b - c + 2

2^ informazione: Y1 passa per l’origine e Y2 passa per il punto Q (0,10)

Riguarda il termine NOTO delle due parabole:

γ1------> y = a·x^2 + b·x     (passa per l'origine)

γ2------> y = - a·x^2 + x·(8·a + b)+10

ossia

- 16·a - 4·b - c + 2 =10------> (c=0)--->16·a + 4·b = -8

cioè 4a+b=-2

3^ informazione: La retta di equazione x=2 interseca Y1 e Y2, rispettivamente, in A a B tali che AB= 2

γ1-------> y = 4a +2 b

γ2-------> y =- 4·a + 2·(8·a + b) + 10 = 2·(6·a + b + 5)

Continuo dopo pranzo.

Riprendo. Abbiamo quindi due possibilità:

{2 = 4·a + 2·b

{0 = 2·(6·a + b + 5)

oppure

{0 = 4·a + 2·b

{2 = 2·(6·a + b + 5)

La prima fornisce:

{4·a + 2·b = 2

{6·a + b = -5

Risolvi: [a = - 3/2 ∧ b = 4]

e quindi 2 parabole.

La seconda fornisce:

{4·a + 2·b = 0

{6·a + b = -4

Risolvi: [a = -1 ∧ b = 2]

quindi altre 2 parabole.

In definitiva due possibili soluzioni del problema:

y = 4·x - 3·x^2/2   e  y = 3·x^2/2 - 8·x + 10

y = 2·x - x^2   e  y = x^2 - 6·x + 10

In figura la prima possibilità:

infine l’altra possibilità 

Immagino che Ypsilon stia per Gamma e che le due parabole Γ1 e Γ2 debbano avere l'asse di simmetria parallelo all'asse y altrimenti la retta x = 2 le intersecherebbe in due punti e non in uno solo.
Un testo ben scritto non dovrebbe costringere il lettore a immaginare.
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Avendo asse di simmetria parallelo all'asse y, apertura a != 0, vertice V(w, h) devono avere equazione della forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
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La simmetria rispetto al centro P(2, 1) [x' = 2*2 - x; y' = 2*1 - y] implica:
* aperture opposte: a2 = - a1,
* simmetria dei vertici: V1(w, h), V2(4 - w, 2 - h);
quindi equazioni
* Γ1 ≡ y = h + a*(x - w)^2
* Γ2 ≡ y = (2 - h) - a*(x - (4 - w))^2
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Le condizioni di passaggio impongono i vincoli d'appartenenza
* Γ1 per O(0, 0): 0 = h + a*(0 - w)^2
* Γ2 per Q(0, 10): 10 = (2 - h) - a*(0 - (4 - w))^2
il cui sistema
* (0 = h + a*(0 - w)^2) & (10 = (2 - h) - a*(0 - (4 - w))^2)
determina
* (w = (2*a + 1)/a) & (h = - (2*a + 1)^2/a)
* Γ1 ≡ y = - (2*a + 1)^2/a + a*(x - (2*a + 1)/a)^2 ≡
≡ Γ1 ≡ y = a*x^2 - 2*(2*a + 1)*x
* Γ2 ≡ y = (2 + (2*a + 1)^2/a) - a*(x - (4 - (2*a + 1)/a))^2 ≡
≡ Γ2 ≡ y = - a*x^2 + 2*(2*a - 1)*x + 10
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Le intersezioni richieste sono
* di Γ1: (x = 2) & (y = a*x^2 - 2*(2*a + 1)*x) ≡ A(2, - 4*(a + 1))
* di Γ2: (x = 2) & (y = - a*x^2 + 2*(2*a - 1)*x + 10) ≡ B(2, 2*(2*a + 3))
La distanza, che deve valere due, è la differenza fra le ordinate
* |AB| = |- 4*(a + 1) - 2*(2*a + 3)| = 2*|4*a + 5| = 2 ≡
≡ (4*a + 5 = - 1) oppure (4*a + 5 = + 1) ≡
≡ (a = - 3/2) oppure (a = - 1)
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Per a = - 3/2
* Γ1 ≡ y = 4*x - (3/2)*x^2
* Γ2 ≡ y = (3/2)*x^2 - 8*x + 10
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Per a = - 1
* Γ1 ≡ y = 2*x - x^2
* Γ2 ≡ y = x^2 - 6*x + 10