Problema di ottimizzazione di geometria

AC è un cateto di ABC; AB è l'ipotenusa = 2 r;

il coseno di un angolo è il rapporto tra cateto adiacente e ipotenusa.

cos x = AC / (2 r);

corda AC;

AC = 2 r cos x;

AP = AC / 2; (P è il punto medio);

AP = r cos x;

Nel triangolo rettangolo APK, PK è il cateto opposto a x, AP è l'ipotenusa:

PK = AP * sen x;

PK = r cos x sen x;

y = r cos x sen x; 

facciamo la derivata prima di y(x), (derivata di un prodotto);

y' =  r * (- sen x * senx + cos x * cos x);

y' = r * (cos^2 x - sen^2 x);

y' = 0 ,    se :

cos^2 x - sen^2 x = 0;

cos^2 (x) =  sen^2 (x);

cos x = sen x;

x = π / 4 = 45°.

Ciao  @katie

Questo é un problema elementare

Traccia la figura seguendo le istruzioni

Il triangolo ACB é inscritto in una semicirconferenza

quindi é rettangolo con ipotenusa 2r

Allora AC = 2r cos x con x = BAC

AP = r cos x

perché APK é simile ad ACH

con rapporto dei lati omologhi uguale a 1/2

PK = AP sin BAC^ = r cos x sin x

massimo di PK = 1/2 * 2 sin x cos x = 1/2 sin 2x

con 0 < x < pi/2

si raggiunge ovviamente quando sin 2x = 1

2x = pi/2 => x = pi/4