[Risolto] Problema di Geometria Solida

superficie totale A = π*(2r^2+2r(2r+2)) = 112π

6r^2+4r = 112

28-r-3r^2/2 = 0 

r = (1-√1+112*1,5)/-3 = (1-13)/-3 = 4,0 cm 

volume V = π*4^2*(8+2) = 160,0π cm^3 (ml) 

Assumi come modello un cilindro di raggio r e di altezza h=2r+2

conosci le formule del cilindro.

il volume è area di base per altezza. la superficie è due volte l'area di base più l'area laterale. l'area laterale è la circonferenza di base per l'altezza.

Conosci quanto vale l'area totale perciò puoi porre la formula

Superficie=2piR^2+h2piR ma tu h sai che è 2r+2 quindi sostituisci 2r+2 ad h in maniera da eliminare una variabile ed ottenere un equazione solo in r

superificie=2piR^2+(2r+2)2piR

sai anche che la superficie vale 112pi, perciò poni l'equazione appena scritta uguale a 112

superificie=2piR^2+(2r+2)2piR=112

risolvi il tutto (non scrivo i passaggi) mi auguro che tu ci riesca, ed otterrai come soluzione r=4. (la soluzione negativa ovviamente non la si considera. il raggio negativo lo lasciamo stare che non ci interessa e non ha senso.

una volta trovato r=4 inserisci tale valore in

h=2r+2=10

quindi utilizzi la formula del volume per calcolare gli ipotetici litri

che è area di base per altezza

l'altezza vale 10, l'area di base vale pi*R^2 che è 16pi

se moltiplichi tutto ti viene fuori proprio

10*16*pi=160pi

Per fabbricare una lattina di aranciata di forma cilindrica occorrono 112 pigreco cm^2 di alluminio. Se l'altezza supera di 2 cm il diametro di base, quanti millilitri di aranciata sono contenuti nella lattina?

[160 pigreco ml]

===============================================

$\small\text{Diametro = d;}$

$\small\text{altezza h = d+2;}$

$\small\text{conoscendo l'area totale della lattina cilindrica imposta la seguente equazione:}$

$\small 2·Ab+Al= At$

$\small \cancel2^1·\dfrac{d^2·\pi}{\cancel4_2}+d·\pi(d+2) = 112\pi$

$\small \dfrac{d^2\pi}{2}+d^2\pi+2d\pi = 112\pi$

$\small d^2\pi+2d^2\pi+4d\pi = 224\pi$

$\small\text{eguaglia a zero:}$

$\small 3d^2\pi+4d\pi -224\pi = 0$

$\small\text{equazione di 2° grado completa, quindi risolvi con i seguenti dati:}$

$\small a= 3\pi; b=4\pi; c= -224\pi;$

$\small \Delta= b^2-4ac = (4\pi)^2-(4·3\pi·-224\pi) = 16\pi^2-(-2688\pi^2) = (16+2688)\pi^2 = 2704\pi^2;$

$\small\text{applica la formula risolutiva:}$

$\small d_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4\pi\pm\sqrt{2704\pi^2}}{2·3\pi} = \dfrac{-4\pi\pm 52\pi}{6\pi}  $

$ \small d_1= \dfrac{-4\cancel{\pi}+52\cancel{\pi}}{6\cancel{\pi}} = \dfrac{\cancel{48}^8}{\cancel6_1} = 8 $

$ \small d_2= \dfrac{-4\cancel{\pi}-52\cancel{\pi}}{6\cancel{\pi}} = -\dfrac{\cancel{56}^{28}}{\cancel6_3} = -\dfrac{28}{3} \text{ (che escludiamo in quanto negativo)} $

$\small\text{prendiamo \(d_1= 8\) quindi:}$

$\small\text{diametro  \(d = 8\,cm;\)}$

$\small\text{altezza \(h = d+2 = 8+2 = 10\,cm;\)}$

$\small\text{volume lattina: \(V= \dfrac{d^2\pi}{4}·h = \dfrac{8^2\pi}{4}·10 = \dfrac{\cancel{64}^{16}\pi}{\cancel4_1}·10 =16\pi·10 = 160\pi\,cm^3\);}$

$\small 1\,cm^3 = 1\,ml  \text{ di capacità quindi:}$

$\small\text{capacità della lattina: \(= 160\pi\,ml.\)}$