[Risolto] Problema di geometria

I semicerchi costruiti sui lati hanno raggio pari a metà lato. Detto $l$ il lato, allora $R=l/2$. Quindi l'area di ogni semicerchio è $\pi R^2/2=\pi l^2/8$.

Dato che i semicerchi sono 4, l'area totale è $\pi l^2/2$

Il cerchio che ha come diametro la diagonale del quadrato ha raggio pari a metà della diagonale. Sia $D=l\sqrt{2}$ la diagonale. Quindi $R_1=D/2=l/\sqrt{2}$

L'area risulta

$\pi R_1^2=\pi l^2/2$

L'espressione è la stessa quindi cvd.

I quattro semicerchi assommano al doppio del cerchio inscritto.
Quello con la diagonale per diametro è il cerchio circoscritto.
Poiché
* il rapporto fra diagonale d e lato L è radice di due [d/L = √2]
* le aree dei cerchi sono proporzionali ai quadrati dei diametri [(π*d^2/4)/(π*L^2/4) = (d/L)^2 = 2]
allora ciò dimostra che l'area del cerchio circoscritto è il doppio di quella del cerchio inscritto.
QED

detta HH' la distanza di H da AC e KK' la distanza di K da AC, la particolare costruzione porta a dire che HH' è congruente a KK', il che implica il parallelismo tra HK ed AC 

detti s lo spigolo del quadrato e s√2 il suo diametro audemus dicere :

A1 = π*s^2/2

A2 = π*(s√2)^2/4 = π*2*s^2/4 = π*s^2/2 = A1 ...QED 
 

triangolo di sinistra

BH^2 = AH*CH

BC^2 = CH*AC ; AB^2 = AH*AC 

triangolo di destra

CH^2 = AH*BH

AC^2 = AH*AB ; BC^2 = BH*AB