Problema con rette 591

Non si apre l'immagine. Ciao.

Non hai caricato correttamente l'immagine, presumo che il 591 sia lo stesso che avevi postato nella tua domanda precedente.

La retta passante per $A(1,0)$ e $B\left(\dfrac{3}{2},-1\right)$ si può trovare in questo modo:

$\dfrac{y-A_y}{A_y-B_y}=\dfrac{x-A_x}{A_x-C_x}$.

Dopo alcune sostituzioni con i dati e dei calcoli elementari si trova che questa retta corrisponde a $2x+y-2=0$. È evidente che $2x+y-2=0$ non è parallela alla prima generatrice del fascio $x+y-2=0$ perché i coefficienti angolari risultano differenti, quindi è possibile ricavare il punto di intersezione tra le due rette:

$\begin{cases} 2x+y-2=0 \\ x+y-2=0 \end{cases}$

Faccio la differenza tra la prima e la seconda e tengo la seconda

$\begin{cases} x=0 \\ x+y-2=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x= 0 \\ y=2 \end{cases}$

Il fascio di rette ha centro in $(0,2)$, quindi ha equazione $y-2=mx$.

I punti si trovano con l'intersezione degli assi cartesiani:
$\begin{cases} y-2=mx \\ x=0 \end{cases}$

$\begin{cases}y-2=0 \\ x=0 \end{cases}$

$\begin{cases} y=2 \\ x=0 \end{cases}$

L'intersezione con l'asse $y$ ha coordinate $C(0,2)$

$\begin{cases} y-2=mx \\ y=0 \end{cases}$

$\begin{cases} 0-2=mx \\ y=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x= -\dfrac{2}{m} \\ y=0 \end{cases}$

L'intersezione con l'asse $x$ ha coordinate $D\left(-\dfrac{2}{m},0\right)$.

$\textbf{a.}$

Dal momento che il triangolo $OCD$ è rettangolo, la sua area è $A=\dfrac{\overline{OC} \cdot \overline{OD}}{2}$. $\overline{OC} = 2$, mentre $\overline{OD} = \left|-\dfrac{2}{m} \right| =\left | \dfrac{2}{m} \right|$.

Poniamo $A=4$, quindi $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left| \dfrac{2}{m}  \right| = 4 \implies \left| \dfrac{2}{m} \right | = 4 \implies \dfrac{2}{m} = \pm 4 \implies m = \pm \dfrac{1}{2}$.

Dato che il fascio aveva equazione $y=mx+2$, le rette che stiamo cercando quindi sono $y=\dfrac{1}{2}x+2$ e $y=-\dfrac{1}{2}x+2$.

In questo grafico le rette nere sono le generatrici del fascio:

$\textbf{b.}$

Il baricentro $G$ di $OCD$ ha coordinate $(G_x,G_y)$ dove $G_x=\dfrac{O_x+C_x+D_x}{3}$ e $G_y=\dfrac{O_y+C_y+D_y}{3}$. Calcoliamo $G_x=\dfrac{0+0-\frac{2}{m}}{3}=-\dfrac{2}{3m}$, $G_y=\dfrac{0+0+2}{3}= \dfrac{2}{3}$. Il problema impone che $G\left(-\dfrac{2}{3m},\dfrac{2}{3}\right)$ sia $\left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3} \right)$, quindi $-\dfrac{2}{3m}=-\dfrac{1}{3} \implies m=2$. La retta che stiamo cercando quindi ha equazione $y=2x+2$.

In questo grafico le rette nere sono le generatrici del fascio:

$\textbf{c.}$

Puoi sfruttare lo stesso teorema che avevo proposto nello scorso esercizio per dimostrare che il circocentro è il punto medio dell'ipotenusa $\overline{CD}$, ma eviterò anche questa volta di usare un teorema che non ritengo di uso comune. L'asse di $\overline{OC}$ passa per il punto medio di $\overline{OC}$ che è evidentemente $M(0,1)$, mentre quello di $\overline{OD}$ passa per il punto $K$ di coordinate $K_x=\dfrac{0-\frac{2}{m}}{2}=-\dfrac{1}{m}$, $K_y=0$. Dato che l'asse è sempre perpendicolare al segmento, quello di $\overline{OC}$ ha equazione $y=M_y=1$ (perché $\overline{OC}$ si trova sull'asse $y$, quindi la sua perpendicolare è parallela all'asse $x$), mentre quello di $\overline{OD}$ è $x=-\dfrac{1}{m}$ (per un ragionamento analogo). L'intersezione è dunque $I\left(-\dfrac{1}{m}, 1 \right )$ che il problema impone essere $\left(\dfrac{1}{2} , 1 \right)$, quindi $-\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{2} \implies m=-2$. La retta cercata è quindi $y=-2x+2$.

In questo grafico le rette nere sono le generatrici del fascio:

$\textbf{d.}$

L'incentro è il punto di intersezione delle bisettrici, per trovarlo ci servono solo due bisettrici. Notiamo che l'angolo $\widehat{COD}$ è uno dei quattro angoli perpendicolari formati dagli assi cartesiani, pertanto la sua bisettrice è la bisettrice degli assi cartesiani di equazione $y=\pm x$, dato che l'incentro deve appartenere alla bisettrice e il problema impone che questo abbia coordinate $\left ( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right)$ che sono positive, quindi la bisettrice in realtà dev'essere $y=x$. Troviamo ora la bisettrice di $\widehat{OCD}$ con la formula che segue:

$\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|a'x+b'y+c'|}{\sqrt{a'^2+b'^2}}$

Dove $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$ sono le rette che definiscono l'angolo cui bisettrice ci interessa calcolare. Come vedi, i valori assoluti ci danno due risposte (perché le bisettrici ad un angolo sono perpendicolari), iniziamo scrivendo le equazioni delle nostre rette in forma implicita:
$x=0 \implies x+0y+0=0$, quindi $(a,b)=(1,0)$, mentre $y=mx+2 \implies mx-y+2 =0$, quindi $(a',b')=(m,-1)$. Sostituiamo:

$\dfrac{|x+0y+0|}{\sqrt{1^2+0^2}} = \dfrac{|mx-y+2|}{\sqrt{m^2+1^2}}$

$|x| = \dfrac{|mx-y+2|}{\sqrt{m^2+1}}$

Otteniamo due soluzioni:

$y=x(\sqrt{m^2+1}+m)+2$ 

$y=x(m-\sqrt{m^2+1})+2$

Dobbiamo sostituire $x=y=\dfrac{1}{2}$  (perché sappiamo che questo è un punto della retta per imposizione dell'esercizio) e vedere quando l'equazione risulta avere soluzioni in $m$. Ti risparmio i calcoli, ma nella prima risulta che $m=-\dfrac{4}{3} \land m \leq -3$, nella seconda risulta che $m=-\dfrac{4}{3} \land m \geq -3$. La bisettrice che è la seconda, perché la prima ha una contraddizione. In ogni caso $m=-\dfrac{4}{3}$, quindi la retta del fascio che stiamo cercando è $y=-\dfrac{4}{3}x+2$.

Ultimo grafico:

(forse è un po' confusionario, ma solo una delle bisettrici in viola passa effettivamente per $I$, perché una in realtà ha una contraddizione come abbiamo detto poc'anzi)