Problemi con rette

Da regolamento puoi postare solo un esercizio per discussione, quindi risolvo solo il 590.
Questo grafico dovrebbe aiutarti a visualizzare il problema:

$\textbf{a.}$

Per trovare le coordinate del punto $A$ ci basta sapere che questo è l'intersezione tra $r$ e $y=t$:

$\begin{cases} x+y+1=0 \\ y=t \end{cases}$

Sostituisco nella prima $y=t$

$\begin{cases} x+t+1=0 \\ y=t \end{cases}$ 

$\begin{cases} x= -t-1 \\ y=t \end{cases}$ 

Quindi $A$ ha coordinate $(-t-1, t)$, mentre $B$ è l'intersezione tra $s$ e $y=t$, quindi:

$\begin{cases} x-y+1=0 \\ y= t \end{cases}$

Nella prima sostituisco $y=t$

$\begin{cases} x-t+1=0 \\ y= t \end{cases}$

$\begin{cases} x=t-1 \\ y=t \end{cases}$

Abbiamo trovato che $B$ ha coordinate $(t-1,t)$

Possiamo trovare $C$ sapendo che questo è l'intersezione tra $r$ ed $s$:

$\begin{cases} x+y+1=0 \\x-y+1=0 \end{cases}$

Faccio la differenza della prima e della seconda e tengo la prima nel sistema:

$\begin{cases} x+y+1=0 \\ 2y=0 \implies y=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x=-1 \\ y=0 \end{cases}$

Abbiamo trovato che $C$ ha coordinate $(-1,0)$.

Conviene esprimere l'area di $ABC$ come $A=\dfrac{\overline{AB}\cdot  h_{\overline{AB}}}{2}$, ma $A$ e $B$ giacciono sulla retta $y=t$ (perché sono l'intersezione di $r \cap y=t$ e $s \cap y=t$), quindi hanno la stessa ordinata $t$, allora $\overline{AB}=|A_x-B_x|=|-t-1-t+1=2t$ (posso togliere il valore assoluto perché so che $t>0$, quindi $|2t|=2t$). L'altezza $h_{\overline{AB}}$ è la perpendicolare a $y=t$ passante per $C$, quindi ha equazione $x=-1$. Potremmo usare la formula della distanza punto-retta, ma in questo caso non è per niente necessario, dato che è semplice vedere che $x=-1$ interseca $y=t$ nel punto $H(-1,t)$. $H$ e $C$ hanno la stessa ascissa, quindi $\overline{HC} = |H_y-C_y|=|t-0|=t$. L'area di $ABC$ risulta quindi $A=\dfrac{2t \cdot t}{2} =4 \implies t^2 = 4 \implies t=2$. Non consideriamo la soluzione negativa perché il testo impone che $t>0$. 

$\textbf{b.}$

Dal punto precedente avevamo ricavato che $A(-t-1, t)$, $B(t-1,t)$ e $C(-1,0)$. È noto che il baricentro $G$ di un triangolo ha ascissa $G_x=\dfrac{A_x+B_x+C_x}{3}$, in questo caso $G_x=\dfrac{-t-1+t-1-1}{3}=-1$, mentre $G_y=\dfrac{A_y+B_y+C_y}{3}$ che per $ABC$ corrisponde a $G_y=\dfrac{t+t+0}{3}=\dfrac{2}{3}t$. Sappiamo che $G$ appartiene alla retta di equazione $3x+2y=0$, quindi le sue coordinate devono soddisfare l'equazione della retta, allora $3G_x+2G_y=0 \implies 3(-1) + 2 \cdot \dfrac{2}{3}t =0 \implies t= \dfrac{9}{4}$. Ecco un grafico che rappresenta la situazione nel caso in cui $t=\dfrac{9}{4}$:

$\textbf{c.}$

Ti faccio notare che $ABC$ è un triangolo rettangolo (puoi verificare che $r \perp s$), quindi $\overline{AB}$ è un diametro della circonferenza su in cui è iscritto, quindi il punto medio di $\overline{AB}$ sarebbe il centro della circonferenza circoscritta ad $ABC$, che ha ordinata $t$. Dato che il circocentro deve trovarsi su $y=\dfrac{5}{2}$ e che questo ha ordinata $t$, se ne conclude che $t=y=\dfrac{5}{2} \implies t =\dfrac{5}{2}$. Non credo che tu conoscessi questo teorema, quindi non userò questa soluzione, ma è giusto che tu sappia quanto è semplice risolvere questi problemi con qualche conoscenza di geometria.

Il circocentro di un triangolo è dato dall'intersezione dei suoi assi, ci basta trovare due assi e la loro intersezione. Ovviamente l'asse più immediato da calcolare e quello di $\overline{AB}$, perché $A$ e $B$ giacciono su $y=t$ che è una parallela all'asse $x$, quindi l'equazione dell'asse sarà $x=M_x$ dove $M$ è il punto medio di $\overline{AB}$, quindi $M_x=\dfrac{A_x+B_x}{2}=\dfrac{-t-1+t-1}{2}=-1$, quindi l'asse di $\overline{AB}$ ha equazione $x=-1$. Procediamo a trovare l'asse di $\overline{AC}$, quindi troviamo il punto medio $K$ di $\overline{AC}$; $K_x=\dfrac{A_x+C_x}{2}=\dfrac{-t-1-1}{2}=-\dfrac{t+2}{2}$, $K_y=\dfrac{A_y+C_y}{t+0}{2}=\dfrac{t}{2}$. Sappiamo che $r:\ y=-x-1$, quindi la perpendicolare ad $r$ ha coefficiente angolare $1$. Possiamo trovare l'asse di $\overline{AC}$:

$y-K_y=x-K_x$

$y=x+\dfrac{t+2}{2}+\dfrac{t}{2}$

$y=x+t+1$

Calcoliamo l'intersezione tra gli assi:

$\begin{cases} x=-1 \\ y=x+t+1 \end{cases}$

$\begin{cases} x=-1 \\ y=-1+t+1 \end{cases}$

$\begin{cases} x=-1 \\ y=t \end{cases}$

Abbiamo trovato che il circocentro $O$ ha coordinate $(-1,t)$, dato che $O$ deve trovarsi su $y=\dfrac{5}{2}$, le sue coordinate devono soddisfare l'equazione della retta, quindi $O_y=t=\dfrac{5}{2} \implies t=\dfrac{5}{2}$.

Un ultimo grafico: